Что такое корни уравнения sinx⋅cosx = −2−√2sinx? Какие значения x удовлетворяют этому уравнению?

Чтобы понять, что такое корни уравнения \( \sin x \cdot \cos x = -2 - \sqrt{2} \sin x \), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Данное уравнение является тригонометрическим уравнением, так как содержит тригонометрические функции - синус и косинус.
2. Чтобы решить уравнение, самым логичным предположением будет разложить его на два уравнения, каждое из которых будет содержать только одну тригонометрическую функцию.
3. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством \( \sin(A) \cdot \cos(B) = \frac{1}{2} (\sin(A + B) + \sin(A - B)) \).
4. Применим это тождество к исходному уравнению: \( \frac{1}{2} (\sin(2x) + \sin(0)) = -2 - \sqrt{2} \sin x \).
5. Упростим уравнение: \( \frac{1}{2} \sin(2x) = -2 - \sqrt{2} \sin x \).
6. Теперь проанализируем полученное уравнение. Мы видим, что оно содержит только одну тригонометрическую функцию - синус. Это означает, что мы сможем решить его аналитически.
7. Уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной \(\sin x\). Заменим \(\sin x\) на переменную \(y\): \( \frac{1}{2} \sin(2x) = -2 - \sqrt{2} y \).
8. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \(\sin(2x) = -4 - 2\sqrt{2}y\).
9. Теперь заменим \(\sin(2x)\) на переменную \(z\): \(z = -4 - 2\sqrt{2}y\).
10. Получили квадратное уравнение: \(z = -4 - 2\sqrt{2}y\).
11. Найдем корни квадратного уравнения. Для этого используем формулу корней: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\sqrt{2}\), \(b = -2\), \(c = 4\).
12. Подставляем значения в формулу и решаем ее: \(y = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4}}{2 \cdot 2\sqrt{2}}\).
13. Упрощаем выражение: \(y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{4\sqrt{2}}\).
14. \(y = \frac{2 \pm \sqrt{-28}}{4\sqrt{2}}\).
15. Так как у нас получился отрицательный аргумент под квадратным корнем, уравнение не имеет решений.
16. Поскольку уравнение \(\sin(2x) = -4 - 2\sqrt{2}y\) эквивалентно исходному уравнению, то исходное уравнение также не имеет решений.

Таким образом, уравнение \( \sin x \cdot \cos x = -2 - \sqrt{2} \sin x \) не имеет решений.