Что представляет собой максимальное и минимальное значение функции y=x^3 - 5X^2+7x на интервале (-1;2)?

Для определения максимального и минимального значения функции \(y = x^3 - 5x^2 + 7x\) на интервале \((-1, 2)\) мы должны найти локальные экстремумы и точки перегиба на этом интервале. Начнем с процесса нахождения производной функции.

Шаг 1: Найдем производную функции
Производная функции \(y = x^3 - 5x^2 + 7x\) может быть найдена с помощью правила дифференцирования степенной функции:

\[y" = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(7x)\]
\[y" = 3x^2 - 10x + 7\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю
Следующий шаг - найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, так как это могут быть точки экстремума или точки перегиба. Решим уравнение:

\[3x^2 - 10x + 7 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать метод дискриминанта или факторизацию. Факторизуя, мы получим:

\[(x-1)(3x-7)=0\]

Таким образом, у нас есть два значения \(x\), при которых производная равна нулю: \(x=1\) и \(x=\frac{7}{3}\).

Шаг 3: Определим экстремумы и точки перегиба
Для определения того, являются ли найденные значения \(x\) экстремумами или точками перегиба, необходимо проанализировать знак производной вокруг этих точек.

\[y" = 3x^2 - 10x + 7\]

Оценим знак производной в каждом из следующих интервалов:

* \((-1, \frac{7}{3})\): Возьмем любое значение \(x\) в этом интервале и вычислим \(y"\). Например, возьмем \(x=0\). Подставим это значение в производную:

\[y" = 3(0)^2 - 10(0) + 7 = 7\]

Таким образом, \(y"\) положительна для всех значений \(x\) в интервале \((-1, \frac{7}{3})\). Это означает, что функция \(y\) возрастает на этом интервале.

* \((\frac{7}{3}, 1)\): Возьмем любое значение \(x\) в этом интервале и вычислим \(y"\). Например, возьмем \(x=2\). Подставим это значение в производную:

\[y" = 3(2)^2 - 10(2) + 7 = -3\]

Таким образом, \(y"\) отрицательна для всех значений \(x\) в интервале \((\frac{7}{3}, 1)\). Это означает, что функция \(y\) убывает на этом интервале.

* \((1, 2)\): Возьмем любое значение \(x\) в этом интервале и вычислим \(y"\). Например, возьмем \(x=1.5\). Подставим это значение в производную:

\[y" = 3(1.5)^2 - 10(1.5) + 7 = -1.75\]

Таким образом, \(y"\) отрицательна для всех значений \(x\) в интервале \((1, 2)\). Это означает, что функция \(y\) убывает на этом интервале.

Теперь, используя полученную информацию о знаке производной, мы можем делать выводы:

* Точка \(x=1\) является локальным минимумом, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через эту точку.
* Точка \(x=\frac{7}{3}\) является локальным максимумом, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный при переходе через эту точку.

Шаг 4: Найдем соответствующие значения функции \(y\) для найденных значений \(x\)
Для нахождения максимального и минимального значения функции \(y = x^3 - 5x^2 + 7x\) на интервале \((-1, 2)\), мы должны подставить найденные значения \(x\) в исходную функцию и посчитать \(y\).

Для \(x=1\):
\[y = (1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) = 3\]

Значит, локальный минимум функции \(y\) равен 3.

Для \(x=\frac{7}{3}\):
\[y = \left(\frac{7}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{7}{3}\right)^2 + 7\left(\frac{7}{3}\right) \approx 4.74\]

Значит, локальный максимум функции \(y\) примерно равен 4.74.

Таким образом, максимальное значение функции \(y\) на интервале \((-1, 2)\) составляет примерно 4.74, а минимальное значение равно 3.