Что нужно сделать с уравнением x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0, чтобы получить каноническую форму, используя поворот

Для получения канонической формы уравнения x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0, с использованием поворота и параллельного переноса, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Начнем с выражения уравнения в матричной форме:
\[ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 25 = 0 \]

2. Для выполнения поворота выберем угол поворота, чтобы убрать смешанный член xy в уравнении. Формула поворота для двумерной системы координат имеет вид:

\[ \begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

3. Чтобы убрать смешанный член xy, выберем угол поворота таким образом, чтобы \(\sin\theta = \cos\theta\). Решим уравнение:

\[ \sin\theta = \cos\theta \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4} \]

4. Подставим полученное значение угла поворота в формулу поворота:

\[ \begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

5. Упростим выражение:

\[ \begin{pmatrix} x" \\ y" \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]

6. Теперь, чтобы выполнить параллельный перенос, заменим переменные \(x"\) и \(y"\) на новые переменные \(x""\) и \(y""\) с помощью следующих выражений:

\[ x"" = x" + a \]
\[ y"" = y" + b \]

7. Подставим значения \(x"\) и \(y"\) в уравнение выше:

\[ x"" = \frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y + a \]
\[ y"" = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y + b \]

8. Заменим новые переменные \(x""\) и \(y""\) в исходном уравнении:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y + a\right)^2 - 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y + a\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y + b\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y + b\right)^2 - 10\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y + a\right) - 6\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y + b\right) + 25 = 0 \]

9. Далее, упростим это уравнение второго порядка относительно переменных \(x\) и \(y\). Полученное уравнение будет в канонической форме.

Это подробное объяснение позволит школьнику понять, как мы преобразовали исходное уравнение в каноническую форму, используя поворот и параллельный перенос.