Что нужно найти в треугольнике ABC, если угол С равен 90°, высота CD = 3 см, и острый угол равен 30°?

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и определение тангенса острого угла треугольника.

1. Определим длину гипотенузы треугольника ABC (сторона AB), используя теорему Пифагора:

В прямоугольном треугольнике СD является высотой, перпендикулярной гипотенузе AB. Пусть AD = x будет одним из катетов, а BD = y - другим катетом.

Согласно теореме Пифагора:
\(AC^2 = AD^2 + CD^2\)
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

Замечание: Так как угол С равен 90°, прямоугольный треугольник СD является подобным треугольнику ABC.

2. Найдем выражение для x и y:

Так как треугольник СD подобен треугольнику ABC, мы можем записать отношения сторон как:
\( \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}\) (1)

Также, так как острый угол равен 30°, мы можем использовать тангенс угла 30°:
\( \tan(30°) = \frac{CD}{AD}\) (2)

Из (1) и (2) мы можем выразить AD через BC:
\( AD = \frac{AC}{CD} \cdot BC\) (3)

Из (3) и (2):
\( \tan(30°) = \frac{CD}{\frac{AC}{CD} \cdot BC}\)
Упрощаем:
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD^2}{AC \cdot BC}\)

3. Найдем значение BC:

Так как треугольник АВС подобен треугольнику СD, мы можем сказать:
\( \frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AB}\)

Известно, что CD = 3 см. Также, мы знаем, что угол С равен 90°. Поэтому AB - это гипотенуза треугольника, а BC - это катет. Если мы используем теорему Пифагора для треугольника ABC, получим:
\( AC^2 = AB^2 - BC^2\)

Теперь мы можем записать отношение сторон:
\( \frac{AC}{BC} = \frac{3}{AB}\)

Из этого мы можем выразить BC через АB:
\( AB = \frac{3}{BC} \cdot AC\) (4)

4. Подставляем значения BC и AC в (4):

\(AB = \frac{3}{BC} \cdot AC = \frac{3}{BC} \cdot \frac{CD}{\frac{AC}{CD} \cdot BC}= \frac{3 \cdot CD}{AC}\)

Теперь мы имеем выражение для длины AB через CD и AC.

5. Подставляем значение CD = 3 и острый угол в радианах:

Мы знаем, что угол в 30° равен \( \frac{\pi}{6}\) радиан. Таким образом, мы можем подставить значения в полученное выражение и рассчитать значение стороны AB:
\(AB = \frac{3 \cdot 3}{\cos(\frac{\pi}{6})} \approx 5.20\) см

Итак, длина стороны AB приближается к 5.20 см.