Что есть значение выражения (a^2+b^2)/2ab, если отношение суммы чисел a и b к их разности составляет?

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся с условием. У нас есть выражение \(\frac{{a^2+b^2}}{{2ab}}\) и дано, что отношение суммы чисел \(a\) и \(b\) к их разности составляет некоторую величину \(k\). Для нахождения значения выражения нам нужно выразить \(a\) и \(b\) через \(k\) и подставить в выражение.

По условию задачи отношение суммы чисел \(a\) и \(b\) к их разности составляет \(k\), это можно записать следующим образом:

\[
\frac{{a+b}}{{a-b}} = k \qquad \text{(1)}
\]

Давайте решим это уравнение относительно одной переменной, например, относительно \(a\). Для этого умножим обе части уравнения на \(a-b\):

\[
a+b = k(a-b)
\]

Раскроем скобки:

\[
a+b = ka-kb
\]

Теперь соберем все члены, содержащие переменную \(a\), в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие \(a\), в правую часть:

\[
a(1-k) = -b(1+k)
\]

Разделим обе части на \((1-k)\) для выражения \(a\):

\[
a = -\frac{{b(1+k)}}{{1-k}} \qquad \text{(2)}
\]

Теперь мы выразили переменную \(a\) через переменную \(b\) и коэффициент \(k\). Подставим это выражение для \(a\) в исходное выражение:

\[
\frac{{a^2+b^2}}{{2ab}} = \frac{{\left(-\frac{{b(1+k)}}{{1-k}}\right)^2+b^2}}{{2\left(-\frac{{b(1+k)}}{{1-k}}\right)b}} = \frac{{\frac{{b^2(1+k)^2}}{{(1-k)^2}}+b^2}}{{\frac{{2b^2(1+k)}}{{1-k}}}} = \frac{{b^2(1+k)^2+b^2(1-k)^2}}{{2b^2(1+k)(1-k)}}
\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\frac{{b^2(1+k)^2+b^2(1-k)^2}}{{2b^2(1+k)(1-k)}} = \frac{{b^2((1+k)^2+(1-k)^2)}}{{2b^2(1+k)(1-k)}}
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{{b^2(1+2k+k^2+1-2k+k^2)}}{{2b^2(1+k)(1-k)}}
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{{b^2(2+2k^2)}}{{2b^2(1+k)(1-k)}}
\]

Упростим дробь, сократив \(b^2\):

\[
\frac{{2+2k^2}}{{2(1+k)(1-k)}}
\]

Наконец, сократим числитель и знаменатель на \(2\):

\[
\frac{{1+k^2}}{{(1+k)(1-k)}}
\]

Таким образом, значение выражения \(\frac{{a^2+b^2}}{{2ab}}\) при заданном отношении суммы чисел \(a\) и \(b\) к их разности равно \(\frac{{1+k^2}}{{(1+k)(1-k)}}\).