Что будет результатом скалярного произведения для векторов c =−2a +b и d =a − b, при условии, что |a |=4√2, |b |=8

Чтобы найти результат скалярного произведения для векторов c = -2a + b и d = a - b, мы должны сначала выразить векторы a и b известные данные.

Из условия задачи мы знаем, что |a| = 4√2 и |b| = 8, где |a| обозначает длину вектора a.

Сначала найдем a. У нас есть информация о длине, поэтому мы можем использовать это для нахождения значений компонентов a.

Длина вектора a (|a|) определяется как:

|a| = √(a₁² + a₂²)

где a₁ и a₂ - компоненты вектора a.

Подставляя известные значения, мы получаем:

4√2 = √(a₁² + a₂²)

Возводя в квадрат обе стороны уравнения, получаем:

16*2 = a₁² + a₂²

32 = a₁² + a₂²

Теперь нам также известно, что (a ; b) = π/2. Это означает, что скалярное произведение между векторами a и b равно π/2. Скалярное произведение для двух векторов a и b определяется как:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

где θ - угол между векторами a и b.

Подставляя известные значения, мы получаем:

π/2 = (4√2) * 8 * cos(θ)

Теперь мы можем решить уравнение для cos(θ). Делим обе стороны на (32√2):

(π/2) / (32√2) = cos(θ)

Далее, чтобы найти компоненты векторов c и d, мы используем выражения:

c = -2a + b
d = a - b

Подставляя известные значения, мы получаем:

c = -2(4√2) + 8
d = 4√2 - 8

Теперь мы можем вычислить значения c и d:

c = -8√2 + 8
d = 4√2 - 8

Поэтому, результат для скалярного произведения векторов c и d будет:

c · d = c₁ * d₁ + c₂ * d₂

где c₁ и c₂ - компоненты вектора c, и d₁ и d₂ - компоненты вектора d.

Подставляя значения компонентов, мы получаем:

c · d = (-8√2 + 8) * (4√2 - 8)

Теперь нам нужно упростить это выражение. Раскроем скобки:

c · d = -32 + 64 - 32√2 + 64√2

Затем объединим похожие термины:

c · d = 32 + 32√2

Таким образом, результат скалярного произведения для векторов c = -2a + b и d = a - b равен 32 + 32√2.