Через точку D провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника ABC и пересекает сторону BC в точке

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством параллельных прямых и теоремой Талеса.

Для начала обратимся к свойству параллельных прямых. Из условия задачи известно, что прямая DE параллельна стороне AC треугольника ABC. Значит, углы D и A равны.

Теперь применим теорему Талеса. В трапеции ABCD, в которой прямая DE параллельна основаниям AD и BC, можно записать пропорцию:

\[\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB}\]

Учитывая, что сторона AC треугольника ABC является показанной основанием при отрезке DE, пропорция может быть записана следующим образом:

\[\frac{AE}{EC} = \frac{AC}{CB}\]

Теперь заметим, что отношение AE/EC можно также записать через длины отрезков AD и DB:

\[\frac{AE}{EC} = \frac{AD - DE}{DE - DB}\]

Объединим две формулы:

\[\frac{AD - DE}{DE - DB} = \frac{AC}{CB}\]

Далее перепишем полученное равенство с учетом известной длины отрезка AC:

\[\frac{AD - DE}{DE - DB} = \frac{AC}{CB} = \frac{AC}{AB - AC}\]

Теперь решим полученное уравнение относительно неизвестной длины отрезка DE:

\[(AD - DE)(AB - AC) = AC \cdot (DE - DB)\]

Раскроем скобки:

\[AD \cdot AB - AD \cdot AC - DE \cdot AB + DE \cdot AC = AC \cdot DE - AC \cdot DB\]

Перегруппируем члены:

\[DE \cdot (AC + DB) - AC \cdot DE = AD \cdot AB - AD \cdot AC + AC \cdot DB\]

Сократим на DE:

\[AC + DB - AC = \frac{AD \cdot AB - AD \cdot AC + AC \cdot DB}{DE}\]

\[DB = \frac{AD \cdot AB - AD \cdot AC + AC \cdot DB}{DE}\]

Теперь выразим DE:

\[DE = \frac{AD \cdot AB - AD \cdot AC + AC \cdot DB}{DB - AC}\]

Ура! У нас есть окончательная формула для нахождения длины отрезка DE:

\[DE = \frac{AD \cdot AB - AD \cdot AC + AC \cdot DB}{DB - AC}\]

Теперь, когда у нас есть формула, подставим известные значения AC и AB и фактические длины AD и DB. Таким образом, мы сможем вычислить длину отрезка DE.