Через точку а проведена к окружности радиуса r касательная am и секущая, пересекающая окружность в точках k и l. Точка

Дано:
- Окружность радиуса \( r \).
- Касательная \( am \) и секущая, пересекающая окружность в точках \( k \) и \( l \).
- Точка \( l \) является серединой отрезка \( ak \).
- Угол \( amk \) равен 45 градусов.

Требуется найти площадь треугольника \( amk \) в виде \( \frac{s}{r^2} \), где \( s \) - искомая площадь.

Обозначим точку, в которой касательная \( am \) касается окружности, как \( b \). Так как \( am \) является касательной, угол \( abk \) будет прямым.

Также, так как \( l \) является серединой отрезка \( ak \), имеем \( al = lk \).

Рассмотрим треугольник \( amk \). Мы знаем, что угол \( abk \) прямой, а угол \( amk \) равен 45 градусам. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол \( akm \) также будет равен 45 градусам.

Таким образом, треугольник \( amk \) является прямоугольным треугольником с двумя равными углами.

Теперь мы можем найти площадь треугольника \( amk \). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Катет \( ak \) можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \( abk \):
\[
ak = \sqrt{ab^2 + bk^2}
\]

Но у нас нет непосредственно значений \( ab \) и \( bk \). Однако, поскольку треугольник является прямоугольным и \( l \) является серединой отрезка \( ak \), мы можем использовать следующее свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две равные части.

Таким образом, мы можем записать:
\( ab = 2 \times lm \) (по свойству медианы)
и
\( bk = 2 \times km \) (по свойству медианы)

Теперь, зная, что \( l \) является серединой отрезка \( ak \), а угол \( amk \) равен 45 градусам, мы можем записать:
\( lm = \frac{r}{\sqrt{2}} \) (по простому соотношению сторон прямоугольного треугольника)
и
\( km = \frac{r}{\sqrt{2}} \) (по простому соотношению сторон прямоугольного треугольника)

Теперь можем рассчитать значения \( ab \) и \( bk \):
\( ab = 2 \times \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r \sqrt{2} \)
и
\( bk = 2 \times \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r \sqrt{2} \)

Теперь мы можем найти значение \( ak \):
\( ak = \sqrt{ab^2 + bk^2} = \sqrt{(r \sqrt{2})^2 + (r \sqrt{2})^2} = \sqrt{2r^2 + 2r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r \)

Итак, катет \( ak \) равен \( 2r \).

Теперь мы можем найти площадь треугольника \( amk \) с использованием формулы для площади прямоугольного треугольника:
\( s = \frac{1}{2} \times ak \times km = \frac{1}{2} \times 2r \times \frac{r}{\sqrt{2}} = r^2 \sqrt{2} \)

Наконец, чтобы представить площадь \( s \) в виде \( \frac{s}{r^2} \), мы делим \( s \) на \( r^2 \):
\( \frac{s}{r^2} = \frac{r^2 \sqrt{2}}{r^2} = \sqrt{2} \)

Итак, площадь треугольника \( amk \) в виде \( \frac{s}{r^2} \) равна \( \sqrt{2} \).