Через сколько лет процент нераспавшейся части нуклида будет составляться

Для решения этой задачи нам понадобится использовать понятие полураспада и экспоненциального закона распада.

Полураспад - это время, за которое количество вещества уменьшается в два раза. Обозначим полураспад как \(T_{1/2}\).

Экспоненциальный закон распада гласит, что количество нераспавшегося вещества уменьшается со временем по формуле:

\[N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Где:
- \(N(t)\) - количество нераспавшегося вещества через время \(t\)
- \(N_0\) - начальное количество вещества
- \(T_{1/2}\) - полураспад

Теперь приступим к решению задачи. Допустим, начальное количество вещества составляет \(N_0\) грамм. Через \(t\) лет процент нераспавшейся части составляет \(P\).

Мы знаем, что процент нераспавшейся части составляет \(\frac{P}{100}\), а процент распавшейся части составляет \(\frac{100 - P}{100}\). То есть, \(N(t) = N_0 \cdot \frac{P}{100}\).

Подставим это значение в экспоненциальный закон распада:

\[N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = N_0 \cdot \frac{P}{100}\]

Теперь найдем время \(t\) через которое процент нераспавшейся части составляет \(P\):

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = \frac{P}{100}\]

Для того, чтобы найти value, есть несколько путей. Первый путь - прологарифмировать обе стороны уравнения по основанию 1/2:

\[\log_{\frac{1}{2}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{P}{100}\right)\]

По свойству логарифма, \(\log_{a}(x^b) = b \cdot \log_{a}(x)\), получим:

\[\frac{t}{T_{1/2}} \cdot \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{P}{100}\right)\]

Логарифм по основанию 1/2 от 1/2 равен 1, поэтому упростим:

\[\frac{t}{T_{1/2}} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{P}{100}\right)\]

\[\frac{t}{T_{1/2}} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{P}{100}\right)\]

Избавимся от дроби, умножив обе стороны на \(T_{1/2}\):

\[t = T_{1/2} \cdot \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{P}{100}\right)\]

Итак, чтобы найти через сколько лет процент нераспавшейся части нуклида будет составлять P процентов, необходимо умножить полураспад \(T_{1/2}\) на логарифм по основанию 1/2 от \(\frac{P}{100}\).