Через какой промежуток времени амплитуда собственных колебаний в колебательном контуре с конденсатором ёмкостью

Для решения данной задачи нам необходимо использовать уравнение колебаний в колебательном контуре, которое связывает амплитуду \(A\) собственных колебаний, ёмкость \(C\) конденсатора, индуктивность \(L\) катушки и её сопротивление \(R\):

\[
A = \frac{U}{\sqrt{1 + \left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)^2}}
\]

где \(U\) - напряжение в колебательном контуре, \(X_L\) - сопротивление реактивное индуктивности, \(X_C\) - сопротивление реактивное ёмкости.

Чтобы определиться, через какой промежуток времени амплитуда собственных колебаний уменьшится в 10 раз, нам нужно знать зависимость амплитуды от времени. В колебательном контуре амплитуда колебаний с течением времени убывает по экспоненциальному закону:

\[
A(t) = A_0 \cdot e^{-\alpha t}
\]

где \(A_0\) - начальная амплитуда, \(\alpha\) - коэффициент затухания, \(t\) - время.

Известно, что амплитуда уменьшится в 10 раз. То есть, мы можем записать отношение амплитуд:

\[
\frac{A(t)}{A_0} = \frac{1}{10}
\]

Подставим полученное выражение в уравнение колебаний:

\[
\frac{1}{10} = \frac{U}{\sqrt{1 + \left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)^2}}
\]

Мы знаем значения ёмкости, индуктивности и сопротивления:

\(C = 100 \, \text{пФ} = 100 \times 10^{-12} \, \text{Ф}\)

\(L = 10 \, \text{мГн} = 10 \times 10^{-3} \, \text{Гн}\)

\(R = 2 \, \text{Ом}\)

Подставим значения и решим уравнение относительно напряжения \(U\):

\[
\frac{1}{10} = \frac{U}{\sqrt{1 + \left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)^2}}
\]

Или

\[
U = \frac{\sqrt{1 + \left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)^2}}{10}
\]

Теперь, чтобы узнать, через какой промежуток времени \(t\) амплитуда уменьшится в 10 раз, мы можем использовать экспоненциальную зависимость:

\[
A(t) = A_0 \cdot e^{-\alpha t}
\]

Зная, что амплитуда уменьшится в 10 раз, то есть \(\frac{A(t)}{A_0} = \frac{1}{10}\), мы можем записать:

\[
\frac{1}{10} = e^{-\alpha t}
\]

Теперь нам необходимо найти значение \(\alpha\) для решения задачи. Коэффициент затухания можно найти как:

\[
\alpha = \frac{R}{2L}
\]

Подставим значения сопротивления и индуктивности и найдём \(\alpha\):

\[
\alpha = \frac{2}{2 \times 10 \times 10^{-3}} = 100 \, \text{рад/с}
\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно времени \(t\):

\[
\frac{1}{10} = e^{-100t}
\]

Прологарифмируем обе части уравнения:

\[
\ln{\frac{1}{10}} = \ln{e^{-100t}}
\]

По свойствам логарифмов мы можем записать:

\[
\ln{\frac{1}{10}} = -100t \cdot \ln{e}
\]

Учитывая, что \(\ln{e} = 1\), упростим уравнение:

\[
\ln{\frac{1}{10}} = -100t
\]

Решим уравнение относительно времени \(t\):

\[
t = -\frac{\ln{\frac{1}{10}}}{100} \approx 0.0231 \, \text{сек}
\]

Получили, что через примерно 0.0231 секунды амплитуда собственных колебаний в колебательном контуре с конденсатором ёмкостью 100 пФ и катушкой индуктивности 10 мГн, имеющей сопротивление 2 ома, уменьшится в 10 раз.