Через какое время и на каком расстоянии от заправочной станции автомобиль догонит автобус, если автобус отправился

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать формулу для расчета времени, необходимого для догоняния. Формула связывает скорость, время и расстояние.

Пусть \( t \) - время, через которое автомобиль догонит автобус.
Пусть \( d \) - расстояние, на котором автомобиль догонит автобус.
Скорость автобуса - 54 км/ч, а скорость автомобиля - 72 км/ч.

Мы знаем, что автомобиль стартует через 5 минут, что в переводе в часы составляет \( \frac{5}{60} \) часа.

Теперь мы можем составить уравнение на основе формулы \( r = \frac{d}{t} \), где \( r \) представляет собой скорость, а \( t \) и \( d \) - время и расстояние соответственно.

Для автобуса: \( r_{автобуса} = \frac{d}{t_{автобуса}} \)
Для автомобиля: \( r_{автомобиля} = \frac{d}{t_{автомобиля}} \)

Так как автомобиль выехал через 5 минут, время автомобиля будет равно \( t_{автомобиля} = t_{автобуса} - \frac{5}{60} \).

Теперь мы можем записать выражения для скоростей:
\( r_{автобуса} = 54 \) км/ч
\( r_{автомобиля} = 72 \) км/ч

Исходя из данных выше, мы можем записать два уравнения:
\( 54 = \frac{d}{t_{автобуса}} \)
\( 72 = \frac{d}{t_{автобуса} - \frac{5}{60}} \)

Теперь давайте решим это уравнение. Распишем второе уравнение:
\( 72 = \frac{d}{t_{автобуса} - \frac{5}{60}} \)
Раскроем скобки и возьмем общий знаменатель:
\( 72 = \frac{d}{t_{автобуса}} \cdot \frac{t_{автобуса}}{t_{автобуса} - \frac{5}{60}} \)
Сократим дроби, умножив числитель и знаменатель второй дроби на \( t_{автобуса} \):
\( 72 = \frac{d \cdot t_{автобуса}}{t_{автобуса}(t_{автобуса} - \frac{5}{60})} \)
Умножим обе части уравнения на \( t_{автобуса}(t_{автобуса} - \frac{5}{60}) \):
\( 72 \cdot t_{автобуса}(t_{автобуса} - \frac{5}{60}) = d \cdot t_{автобуса} \)
Раскроем скобки:
\[ 72t_{автобуса}(t_{автобуса} - \frac{5}{60}) = d \cdot t_{автобуса} \]

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить для неизвестного \( t_{автобуса} \).

Когда мы решим это уравнение, найденное значение для \( t_{автобуса} \) будет временем, через которое автомобиль догонит автобус.

Теперь, чтобы найти расстояние, на котором автомобиль догонит автобус, мы можем использовать любое из данных уравнений:
\( 54 = \frac{d}{t_{автобуса}} \)
\( 72 = \frac{d}{t_{автобуса} - \frac{5}{60}} \)

Подставим найденное значение \( t_{автобуса} \) в любое из уравнений и найдем значение расстояния \( d \).