Чему равны гипотенуза, второй катет и его проекция на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катет равен

Давайте решим данную задачу.
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 4, а его проекция на гипотенузу (пусть ее обозначим за H) равна x.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.
То есть, по теореме Пифагора, можем записать:

\(4^2 + x^2 = H^2\)

После этого, мы можем решить данное квадратное уравнение относительно H.

\(16 + x^2 = H^2\)

Выражая \(H^2\), получаем:

\(H^2 = 16 + x^2\)

Теперь найдем значение гипотенузы H, просто извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[H = \sqrt{16 + x^2}\]

Таким образом, гипотенуза равна \(\sqrt{16 + x^2}\).

Аналогичным образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти второй катет. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.
Таким образом, можем записать:

\(4^2 + x^2 = H^2\)

Подставляя значение H, которое мы уже нашли, получим:

\(4^2 + x^2 = (\sqrt{16 + x^2})^2\)

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

\(16 + x^2 = 16 + x^2\)

Заметим, что у нас получается тождественное уравнение, значит, второй катет равен 4.

Наконец, нужно найти проекцию второго катета на гипотенузу. В данном случае, обозначим проекцию через y.
У нас есть подобные треугольники, где отношение длины проекции катета к гипотенузе равно отношению длины самого катета к гипотенузе:
\(4/H = y/x\)

Мы уже нашли, что H равно \(\sqrt{16 + x^2}\), а катет равен 4, поэтому можем записать:

\(\frac{4}{\sqrt{16 + x^2}} = \frac{y}{x}\)

Умножая обе стороны на \(x\sqrt{16 + x^2}\), получаем:

\(4x = y\sqrt{16 + x^2}\)

Для получения значения y, нужно избавиться от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

\((4x)^2 = y^2(16 + x^2)\)

Упрощая и решая данное уравнение, получаем:

\(y^2 = \frac{(4x)^2}{16 + x^2}\)
\(y^2 = \frac{16x^2}{16 + x^2}\)
\(y = \sqrt{\frac{16x^2}{16 + x^2}}\)

Итак, мы получили, что гипотенуза H равна \(\sqrt{16 + x^2}\), второй катет равен 4, а проекция второго катета на гипотенузу равна \(\sqrt{\frac{16x^2}{16 + x^2}}\).