Чему равны гипотенуза, второй катет и его проекция на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катет равен

Давайте решим данную задачу.
У нас есть прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 4, а его проекция на гипотенузу (пусть ее обозначим за H) равна x.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.
То есть, по теореме Пифагора, можем записать:

$4^2+x^2=H^2$

После этого, мы можем решить данное квадратное уравнение относительно H.

$16+x^2=H^2$

Выражая $H^2$, получаем:

$H^2=16+x^2$

Теперь найдем значение гипотенузы H, просто извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения:

$$H=\sqrt{16+x^2}$$

Таким образом, гипотенуза равна $\sqrt{16+x^2}$.

Аналогичным образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти второй катет. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.
Таким образом, можем записать:

$4^2+x^2=H^2$

Подставляя значение H, которое мы уже нашли, получим:

$4^2+x^2=(\sqrt{16+x^2}{)}^2$

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

$16+x^2=16+x^2$

Заметим, что у нас получается тождественное уравнение, значит, второй катет равен 4.

Наконец, нужно найти проекцию второго катета на гипотенузу. В данном случае, обозначим проекцию через y.
У нас есть подобные треугольники, где отношение длины проекции катета к гипотенузе равно отношению длины самого катета к гипотенузе:
$4/H=y/x$

Мы уже нашли, что H равно $\sqrt{16+x^2}$, а катет равен 4, поэтому можем записать:

$\frac{4}{\sqrt{16+x^2}}=\frac{y}{x}$

Умножая обе стороны на $x\sqrt{16+x^2}$, получаем:

$4x=y\sqrt{16+x^2}$

Для получения значения y, нужно избавиться от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

$(4x{)}^2=y^2(16+x^2)$

Упрощая и решая данное уравнение, получаем:

$y^2=\frac{(4x{)}^2}{16+x^2}$
$y^2=\frac{16x^2}{16+x^2}$
$y=\sqrt{\frac{16x^2}{16+x^2}}$

Итак, мы получили, что гипотенуза H равна $\sqrt{16+x^2}$, второй катет равен 4, а проекция второго катета на гипотенузу равна $\sqrt{\frac{16x^2}{16+x^2}}$.