Чему равно значение выражения 2s, если s – это площадь области, лежащей между кривыми у=х²+1 и у+х=3?

Чтобы вычислить значение выражения \(2s\), нам нужно найти площадь области, лежащей между кривыми \(y = x^2 + 1\) и \(y + x = 3\).

Давайте сначала визуализируем эти кривые. Построим график каждой из них:

1. Кривая \(y = x^2 + 1\):

Для начала нам нужно построить таблицу значений для \(x^2 + 1\) и построить график, используя эти значения. Вот таблица значений:

\[
\begin{align*}
x & | & y = x^2 + 1 \\
-3 & | & 10 \\
-2 & | & 5 \\
-1 & | & 2 \\
0 & | & 1 \\
1 & | & 2 \\
2 & | & 5 \\
3 & | & 10 \\
\end{align*}
\]

Теперь с помощью этих значений мы можем построить график:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
ymin = 0,
ymax = 11
]
\addplot [
domain=-3:3,
samples=100,
color=blue,
]
{x^2 + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

2. Кривая \(y + x = 3\):

Найдем \(y\) в зависимости от \(x\), выразив \(y\) через \(x\). Имеем:

\[
y = 3 - x
\]

Строим таблицу значений и график:

\[
\begin{align*}
x & | & y = 3 - x \\
-3 & | & 6 \\
-2 & | & 5 \\
-1 & | & 4 \\
0 & | & 3 \\
1 & | & 2 \\
2 & | & 1 \\
3 & | & 0 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = left,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
ymin = 0,
ymax = 7
]
\addplot [
domain=-3:3,
samples=100,
color=red,
]
{3 - x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Получили два графика. Наша цель - найти площадь области, ограниченной этими кривыми.

Для нахождения точек пересечения кривых \(y = x^2 + 1\) и \(y + x = 3\), приравняем их уравнения:

\[
x^2 + 1 = 3 - x
\]

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\[
x^2 + x - 2 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение, используя метод дискриминанта. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\):

\[
D = (1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два решения для \(x\):

\[
x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-1 + \sqrt{9}}}{{2}} = \frac{{-1 + 3}}{{2}} = 1
\]

\[
x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-1 - \sqrt{9}}}{{2}} = \frac{{-1 - 3}}{{2}} = -2
\]

Теперь мы знаем значения \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы найти соответствующие значения \(y_1\) и \(y_2\), подставим найденные значения \(x\) в уравнение кривой \(y = x^2 + 1\):

\[
y_1 = (1)^2 + 1 = 2
\]

\[
y_2 = (-2)^2 + 1 = 5
\]

Теперь у нас есть точки пересечения кривых: \(P_1(1, 2)\) и \(P_2(-2, 5)\). Чтобы найти площадь области, лежащей между этими кривыми, мы должны вычислить разность площадей под кривыми между точками пересечения.

Для этого вычислим определенный интеграл для каждой кривой на отрезке \([-2, 1]\):

Для кривой \(y = x^2 + 1\):

\[
\int_{-2}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2) \right) = \frac{4}{3} - \frac{-10}{3} = \frac{14}{3}
\]

Для кривой \(y + x = 3\) (или \(x = 3 - y\)):

\[
\int_{-2}^{1} (3 - y) \, dy = \left[ 3y - \frac{y^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left( 3(1) - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 3(-2) - \frac{(-2)^2}{2} \right) = \frac{7}{2} - \frac{-9}{2} = 8
\]

Теперь найдем разность площадей:

\(2s = \left( \frac{14}{3} \right) - 8 = \frac{14}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{10}{3}\)

Таким образом, значение выражения \(2s\) равно \(-\frac{10}{3}\).

Пожалуйста, обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной. Возможно, в задаче была допущена ошибка при указании значения \(y\) в уравнении кривой \(y + x = 3\) или в других данных задачи.