Чему равно значение угла B в треугольнике ABC, если известно, что угол C равен 90 градусов, сторона AC равна 3, а синус

Для решения этой задачи, нам понадобится тригонометрическая теорема синусов для треугольников. По этой теореме, отношение между длинами сторон треугольника и синусами соответствующих углов выражается следующим образом:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Где a, b и c - это длины сторон треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

В нашем случае, нам дано, что угол C равен 90 градусов (прямой угол) и сторона AC равна 3. Давайте обозначим сторону AB как b и угол B как \( \angle B\).

Используя теорему синусов, мы можем записать:

\[\frac{3}{\sin(90)} = \frac{b}{\sin(B)}\]

Так как синус 90 градусов равен 1, формула упрощается:

\[3 = b \cdot \sin(B)\]

Мы также знаем, что синус угла A равен \( \frac{7\sqrt{4}}{4}\). Используя теорему синусов еще раз, мы можем записать:

\[\frac{3}{\frac{7\sqrt{4}}{4}} = \frac{b}{\sin(B)}\]

Упростив выражение, получим:

\[\frac{12}{7} = \frac{b}{\sin(B)}\]

Мы получили уравнение, в котором нам нужно найти значение угла B. Для этого переставим переменные и решим уравнение:

\[\frac{b}{\sin(B)} = \frac{12}{7}\]

Перемножим обе стороны уравнения на \(\sin(B)\):

\[b = \frac{12}{7} \cdot \sin(B)\]

Теперь найдем значение угла B. Для этого возьмем обратный синус от обеих сторон уравнения:

\[\sin^{-1}\left(\frac{b}{\frac{12}{7}}\right) = B\]

Упростим:

\[B = \sin^{-1}\left(\frac{7b}{12}\right)\]

Теперь мы можем подставить значение стороны AC (3) в уравнение и вычислить значение угла B:

\[B = \sin^{-1}\left(\frac{7 \cdot 3}{12}\right)\]

\[B = \sin^{-1}\left(\frac{21}{12}\right)\]

\[B \approx 59.04^\circ\]

Таким образом, значение угла B в треугольнике ABC примерно равно 59.04 градусов.