Чему равно выражение 4-й корень из 2, умноженное на cos(pi/4), а затем на cos(7pi/3)?

Для начала, найдем значение выражения \(4-\sqrt[4]{2}\).

Корень четвертой степени из числа 2 можно рассчитать следующим образом:
\[\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}\]

Возведем 2 в степень \(\frac{1}{4}\):

\[2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2} = \sqrt{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}\]

Теперь найдем значение выражения \(4-\sqrt[4]{2}\):

\[4-\sqrt[4]{2} = 4 - (\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}\]

Так как \((\sqrt{2})^{\frac{1}{2}}\) равно квадратному корню из 2, мы можем далее записать:

\[4 - (\sqrt{2})^{\frac{1}{2}} = 4 - \sqrt{2}\]

Итак, значение выражения \(4-\sqrt[4]{2}\) равно \(4-\sqrt{2}\).

Теперь давайте решим следующую часть задачи, вычислив значение выражения \(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

На единичной окружности угол \(\frac{\pi}{4}\) будет соответствовать точке на окружности с координатами \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Значение cosinus этого угла равно x-координате этой точки, то есть \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь давайте посчитаем значение выражения \(cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)\).

На единичной окружности угол \(\frac{7\pi}{3}\) будет соответствовать точке на окружности с координатами \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\). Значение cosinus этого угла равно x-координате этой точки, то есть \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь мы можем рассчитать итоговое значение выражения:

\[4-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[4 - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})\]
\[4 + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4}\]
\[4 + \frac{\sqrt{6}}{2}\]
\[4 + \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{8 + \sqrt{6}}{2} = \frac{8}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} = 4 + \frac{\sqrt{6}}{2}\]

Итак, значение выражения \(4-\sqrt[4]{2}\) умноженного на \(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\) и затем на \(cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)\) равно \(4 + \frac{\sqrt{6}}{2}\).