Чему равна высота правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна 5 см, а отношение площади основания

Для решения этой задачи потребуется использовать знания о правильной треугольной пирамиде. Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, а ее высота проходит через центр основания и перпендикулярна плоскости основания.

Отношение площади основания к площади боковой грани в данной задаче равно 3:7. Так как треугольник является равносторонним, площадь основания можно выразить через длину его стороны \(a\) по формуле \(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\).

Для нахождения площади боковой грани используем формулу \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}pa\), где \(p\) - периметр основания. В нашем случае периметр будет равен \(3a\), так как основание равностороннее.

Используя отношение площадей, можно записать уравнение:
\[\frac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}} = \frac{3}{7}\]
\[\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)}{\left(\frac{1}{2}(3a)a\right)} = \frac{3}{7}\]

Сократив выражения и упростив уравнение, получим:
\[\frac{2\sqrt{3}}{a} = \frac{3}{7}\]
\[\frac{14\sqrt{3}}{7} = \frac{3a}{a}\]
\[2\sqrt{3} = \frac{3a}{7}\]

Теперь, решая уравнение относительно \(a\), найдем значение стороны основания пирамиды:
\[a = \frac{(2\sqrt{3}) \cdot 7}{3}\]
\[a = \frac{14\sqrt{3}}{3}\]

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора в треугольнике с высотой, стороной основания и половиной длины боковой грани. Пусть \(h\) - высота пирамиды. Тогда имеем:
\[h^2 = (\frac{14}{3})^2 - (\frac{5}{2})^2\]
\[h^2 = \frac{196}{9} - \frac{25}{4}\]
\[h^2 = \frac{784 - 225}{36}\]
\[h^2 = \frac{559}{36}\]
\[h = \pm \sqrt{\frac{559}{36}}\]

Так как высота пирамиды не может быть отрицательной, берем положительный корень:
\[h = \sqrt{\frac{559}{36}}\]
\[h = \frac{\sqrt{559}}{6}\]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{\sqrt{559}}{6}\) см.