Чему равна сумма периметров всех разрезанных клеток прямоугольника размером n

Для решения данной задачи нужно разобраться, каким образом происходит разрезание клеток прямоугольника и какие периметры у этих клеток.

Предположим, у нас есть прямоугольник размером \(n\) на \(m\) клеток, где \(n\) - количество клеток по горизонтали, а \(m\) - количество клеток по вертикали. Для удобства будем считать, что одна клетка имеет размер 1x1.

Пусть первая разрезка проходит через клетки с индексами (1,1) и (n,m) (то есть от верхнего левого угла до нижнего правого угла прямоугольника). В этом случае суммарный периметр полученных двух частей будет равен \(2n + 2m\), так как длина верхней и нижней границ каждой части равна \(n\), а длина левой и правой границ каждой части равна \(m\).

Однако это только первый шаг. После первой разрезки у нас будет получено два прямоугольника, и каждый из них в свою очередь может быть разрезан на две части. Таким образом, чтобы найти сумму периметров всех разрезанных клеток, мы должны просуммировать периметры всех полученных прямоугольников.

Количество разрезаний прямоугольника можно определить с помощью формулы \(k = n + m - 1\). Это количество отрезков, которые могут быть проведены в прямоугольнике, при условии, что каждый отрезок начинается и заканчивается на границе прямоугольника.

Теперь рассмотрим пример. Пусть у нас есть прямоугольник размером 3 на 4 клетки. Согласно формуле \(k = n + m - 1\), количество разрезаний будет равно \(3 + 4 - 1 = 6\).

1. Первое разрезание:
- Периметр части 1: \(2 \times 3 + 2 \times 4 = 14\)
- Периметр части 2: \(2 \times 1 + 2 \times 2 = 6\)

2. Второе разрезание:
- Периметр части 1: \(2 \times 2 + 2 \times 4 = 12\)
- Периметр части 2: \(2 \times 1 + 2 \times 2 = 6\)
- Периметр части 3: \(2 \times 2 + 2 \times 1 = 6\)

3. Третье разрезание:
- Периметр части 1: \(2 \times 2 + 2 \times 2 = 8\)
- Периметр части 2: \(2 \times 2 + 2 \times 1 = 6\)
- Периметр части 3: \(2 \times 1 + 2 \times 2 = 6\)
- Периметр части 4: \(2 \times 1 + 2 \times 1 = 4\)

Суммируя периметры всех частей, мы получим:
\(14 + 6 + 12 + 6 + 6 + 8 + 6 + 4 = 62\)

Таким образом, сумма периметров всех разрезанных клеток прямоугольника размером 3 на 4 равна 62.

Обобщая для произвольного прямоугольника размером \(n\) на \(m\), сумма периметров всех разрезанных клеток будет равна:
\[(2n + 2m) \times k = (2n + 2m) \times (n + m - 1)\]

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, какая сумма будет у периметров всех разрезанных клеток прямоугольника заданного размера.