Чему равна сумма периметров всех разрезанных клеток прямоугольника размером n

Для решения данной задачи нужно разобраться, каким образом происходит разрезание клеток прямоугольника и какие периметры у этих клеток.

Предположим, у нас есть прямоугольник размером $n$ на $m$ клеток, где $n$ - количество клеток по горизонтали, а $m$ - количество клеток по вертикали. Для удобства будем считать, что одна клетка имеет размер 1x1.

Пусть первая разрезка проходит через клетки с индексами (1,1) и (n,m) (то есть от верхнего левого угла до нижнего правого угла прямоугольника). В этом случае суммарный периметр полученных двух частей будет равен $2n+2m$, так как длина верхней и нижней границ каждой части равна $n$, а длина левой и правой границ каждой части равна $m$.

Однако это только первый шаг. После первой разрезки у нас будет получено два прямоугольника, и каждый из них в свою очередь может быть разрезан на две части. Таким образом, чтобы найти сумму периметров всех разрезанных клеток, мы должны просуммировать периметры всех полученных прямоугольников.

Количество разрезаний прямоугольника можно определить с помощью формулы $k=n+m-1$. Это количество отрезков, которые могут быть проведены в прямоугольнике, при условии, что каждый отрезок начинается и заканчивается на границе прямоугольника.

Теперь рассмотрим пример. Пусть у нас есть прямоугольник размером 3 на 4 клетки. Согласно формуле $k=n+m-1$, количество разрезаний будет равно $3+4-1=6$.

1. Первое разрезание:
- Периметр части 1: $2\times 3+2\times 4=14$
- Периметр части 2: $2\times 1+2\times 2=6$

2. Второе разрезание:
- Периметр части 1: $2\times 2+2\times 4=12$
- Периметр части 2: $2\times 1+2\times 2=6$
- Периметр части 3: $2\times 2+2\times 1=6$

3. Третье разрезание:
- Периметр части 1: $2\times 2+2\times 2=8$
- Периметр части 2: $2\times 2+2\times 1=6$
- Периметр части 3: $2\times 1+2\times 2=6$
- Периметр части 4: $2\times 1+2\times 1=4$

Суммируя периметры всех частей, мы получим:
$14+6+12+6+6+8+6+4=62$

Таким образом, сумма периметров всех разрезанных клеток прямоугольника размером 3 на 4 равна 62.

Обобщая для произвольного прямоугольника размером $n$ на $m$, сумма периметров всех разрезанных клеток будет равна:
$$(2n+2m)\times k=(2n+2m)\times (n+m-1)$$

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, какая сумма будет у периметров всех разрезанных клеток прямоугольника заданного размера.