Чему равна сумма 2 квадратных корней из 20, умноженных на 2 корня из 45, плюс одна пятая от квадратного корня из 125?

Для решения данной задачи нам потребуется применить некоторые свойства корней.

Дано:
\[
\sqrt{20} \cdot 2\sqrt{45} + \frac{1}{5}\sqrt{125}
\]

1. Начнем с выражения \(2\) и \(\sqrt{20}\):

\[
2 \cdot \sqrt{20} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 10} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}
\]

2. Теперь умножим \(2\sqrt{2}\) на \(\sqrt{10}\):

\[
2\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{2 \cdot 10} = 2\sqrt{20}
\]

Таким образом, выражение \(2\sqrt{20} \cdot 2\sqrt{45}\) равно \(2\sqrt{20}\).

3. Перейдем к следующему слагаемому \(\frac{1}{5}\sqrt{125}\):

\[
\frac{1}{5}\sqrt{125} = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25 \cdot 5} = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{25} = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{5} \cdot 5 = \sqrt{5}
\]

Теперь у нас есть \(2\sqrt{20}\) и \(\sqrt{5}\), добавим их в исходное выражение:

\[
2\sqrt{20} + \sqrt{5}
\]

4. Для нахождения суммы двух квадратных корней, умноженных на натуральные числа, умножим корни на соответствующие числа:

\[
2\sqrt{20} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 20} = \sqrt{80}
\]

\[
\sqrt{5} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{1 \cdot 5} = \sqrt{5}
\]

Теперь мы имеем:

\[
\sqrt{80} + \sqrt{5}
\]

5. Объединим равномерные корни и выразим сумму в виде квадратного корня из некоторого числа:

\[
\sqrt{80} + \sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} + \sqrt{5} = 4\sqrt{5} + \sqrt{5} = (4 + 1)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
\]

Таким образом, сумма 2 квадратных корней из 20, умноженных на 2 корня из 45, плюс одна пятая от квадратного корня из 125, равна \(\sqrt{5}\) или в виде квадратного корня из некоторого числа это будет \(5\sqrt{5}\).