Чему равна разница между дельта u и du для функции u=(x^3)*(y^3) в данной точке?

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. В данной задаче у нас есть функция \(u\) и две переменные \(x\) и \(y\). Мы должны найти разницу между \(\Delta u\) и \(du\) в данной точке.

Давайте определимся, что означает каждое из этих обозначений:

1. \(\Delta u\): это обозначение для приращения функции \(u\) при изменении переменных. Оно вычисляется по формуле \(\Delta u = u(x + \Delta x, y + \Delta y) - u(x, y)\), где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - это изменения переменных \(x\) и \(y\) соответственно.

2. \(du\): это обозначение для дифференциала функции \(u\). Дифференциал функции - это линейное приближение для приращения функции при изменении переменных. Он вычисляется по формуле \(du = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} \Delta x + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \Delta y\), где \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\) и \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\) - это частные производные функции \(u\) по переменным \(x\) и \(y\) соответственно, а \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - это изменения переменных \(x\) и \(y\).

Теперь, когда мы разобрались с обозначениями, давайте вычислим приращение \(\Delta u\) и дифференциал \(du\) для функции \(u=(x^3)*(y^3)\).

1. Вычисление приращения \(\Delta u\):

Для этого воспользуемся формулой \(\Delta u = u(x + \Delta x, y + \Delta y) - u(x, y)\). Начнем с вычисления значений функции \(u\) в точках \(x\) и \(y\) и в точках \(x + \Delta x\) и \(y + \Delta y\):

\[u(x, y) = (x^3)*(y^3)\]
\[u(x + \Delta x, y + \Delta y) = ((x + \Delta x)^3)*((y + \Delta y)^3)\]

Теперь найдем разницу между этими значениями:

\(\Delta u = (x + \Delta x)^3 * (y + \Delta y)^3 - x^3 * y^3\)
\(\Delta u = (x^3 + 3x^2 * \Delta x + 3x * (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) * (y^3 + 3y^2 * \Delta y + 3y * (\Delta y)^2 + (\Delta y)^3) - x^3 * y^3\)

2. Вычисление дифференциала \(du\):

Для этого воспользуемся формулой \(du = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} \Delta x + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \Delta y\). Сначала найдем частные производные функции \(u\) по переменным \(x\) и \(y\):

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3x^2 * (y^3)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = (x^3) * 3y^2\)

Теперь, используя эти частные производные, вычислим дифференциал \(du\):

\(du = 3x^2 * (y^3) * \Delta x + (x^3) * 3y^2 * \Delta y\)

Теперь мы найдем разницу между \(\Delta u\) и \(du\), которую и требовалось найти:

\(\Delta u - du = (x^3 + 3x^2 * \Delta x + 3x * (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) * (y^3 + 3y^2 * \Delta y + 3y * (\Delta y)^2 + (\Delta y)^3) - x^3 * y^3 - (3x^2 * (y^3) * \Delta x + (x^3) * 3y^2 * \Delta y)\)

Таким образом, разница между \(\Delta u\) и \(du\) для функции \(u=(x^3)*(y^3)\) в данной точке равна

\[(x^3 + 3x^2 * \Delta x + 3x * (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) * (y^3 + 3y^2 * \Delta y + 3y * (\Delta y)^2 + (\Delta y)^3) - x^3 * y^3 - (3x^2 * (y^3) * \Delta x + (x^3) * 3y^2 * \Delta y)\]