Чему равна разница между дельта u и du для функции u=(x^3)*(y^3) в данной точке?

Дек 19, 2023

Pchela_1724

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. В данной задаче у нас есть функция

u

и две переменные

x

y

. Мы должны найти разницу между

Δ u

d u

в данной точке.

Давайте определимся, что означает каждое из этих обозначений:

1.

Δ u

: это обозначение для приращения функции

u

при изменении переменных. Оно вычисляется по формуле

Δ u = u (x + Δ x, y + Δ y) - u (x, y)

, где

Δ x

Δ y

- это изменения переменных

x

y

соответственно.

2.

d u

: это обозначение для дифференциала функции

u

. Дифференциал функции - это линейное приближение для приращения функции при изменении переменных. Он вычисляется по формуле

d u = \frac{\partial u}{\partial x} Δ x + \frac{\partial u}{\partial y} Δ y

, где

\frac{\partial u}{\partial x}

\frac{\partial u}{\partial y}

- это частные производные функции

u

по переменным

x

y

соответственно, а

Δ x

Δ y

- это изменения переменных

x

y

.

Теперь, когда мы разобрались с обозначениями, давайте вычислим приращение

Δ u

и дифференциал

d u

для функции

u = (x^{3}) * (y^{3})

.

1. Вычисление приращения

Δ u

:

Для этого воспользуемся формулой

Δ u = u (x + Δ x, y + Δ y) - u (x, y)

. Начнем с вычисления значений функции

u

в точках

x

y

и в точках

x + Δ x

y + Δ y

u (x, y) = (x^{3}) * (y^{3})

u (x + Δ x, y + Δ y) = ((x + Δ x)^{3}) * ((y + Δ y)^{3})

Теперь найдем разницу между этими значениями:

Δ u = (x + Δ x)^{3} * (y + Δ y)^{3} - x^{3} * y^{3}

Δ u = (x^{3} + 3 x^{2} * Δ x + 3 x * (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3}) * (y^{3} + 3 y^{2} * Δ y + 3 y * (Δ y)^{2} + (Δ y)^{3}) - x^{3} * y^{3}

2. Вычисление дифференциала

d u

:

Для этого воспользуемся формулой

d u = \frac{\partial u}{\partial x} Δ x + \frac{\partial u}{\partial y} Δ y

. Сначала найдем частные производные функции

u

по переменным

x

y

\frac{\partial u}{\partial x} = 3 x^{2} * (y^{3})

\frac{\partial u}{\partial y} = (x^{3}) * 3 y^{2}

Теперь, используя эти частные производные, вычислим дифференциал

d u

d u = 3 x^{2} * (y^{3}) * Δ x + (x^{3}) * 3 y^{2} * Δ y

Теперь мы найдем разницу между

Δ u

d u

, которую и требовалось найти:

Δ u - d u = (x^{3} + 3 x^{2} * Δ x + 3 x * (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3}) * (y^{3} + 3 y^{2} * Δ y + 3 y * (Δ y)^{2} + (Δ y)^{3}) - x^{3} * y^{3} - (3 x^{2} * (y^{3}) * Δ x + (x^{3}) * 3 y^{2} * Δ y)

Таким образом, разница между

Δ u

d u

для функции

u = (x^{3}) * (y^{3})

в данной точке равна

(x^{3} + 3 x^{2} * Δ x + 3 x * (Δ x)^{2} + (Δ x)^{3}) * (y^{3} + 3 y^{2} * Δ y + 3 y * (Δ y)^{2} + (Δ y)^{3}) - x^{3} * y^{3} - (3 x^{2} * (y^{3}) * Δ x + (x^{3}) * 3 y^{2} * Δ y)

Знаешь ответ?

Алгебра

Мне нужна помощь с алгеброй. Пожалуйста, переформулируйте вопрос на фото...

Дек 21, 2023

Алгебра

Каково значение выражения (2mn (n+k)/n-k) при условии m=k=1/3 и n=1/2?

Дек 21, 2023

Чему равна разница между дельта u и du для функции u=(x^3)*(y^3) в данной точке?

Pchela_1724

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!