Чему равна площадь заштрихованной фигуры, если радиус круга равен 2 см, а сторона квадрата

Для решения данной задачи, нам необходимо найти площадь заштрихованной фигуры, в которой имеется круг с радиусом 2 см и вписанный в него квадрат. Начнем с поиска площади круга.

Формула для расчета площади круга:
\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]
где \(r\) - радиус круга, \(\pi \approx 3.141592\) (пи).

Подставим известные значения в формулу:
\[S_{\text{круга}} = 3.141592 \cdot 2^2 = 12.566368 \, \text{см}^2\]

Теперь нужно найти площадь квадрата, который вписан в этот круг. Для этого воспользуемся соотношением между радиусом круга и диагональю квадрата.

Квадрат вписан в круг таким образом, что его диагональ равна диаметру круга.


Диаметр круга равен удвоенному значению его радиуса, то есть \(2r\). Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на \(\sqrt{2}\).

Учитывая эти равенства, можно написать следующее:
\[2r = a \cdot \sqrt{2}\], где \(a\) - сторона квадрата

Раскроем полученное уравнение относительно \(a\):
\[a = \frac{2r}{\sqrt{2}}\]
Теперь, когда у нас есть соотношение между радиусом круга и стороной квадрата, мы можем найти значение стороны квадрата.

Подставим значение радиуса (2 см) в выражение и найдем сторону квадрата:
\[a = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}\]

Теперь, чтобы найти площадь квадрата, воспользуемся формулой для нахождения площади квадрата:
\[S_{\text{квадрата}} = a^2\]
Подставляем значение стороны квадрата:
\[S_{\text{квадрата}} = \left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{16}{2} = 8\]

Таким образом, площадь квадрата равна 8 квадратным сантиметрам.

Теперь нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры. Когда квадрат вписан в круг, площадь заштрихованной фигуры состоит из суммы площади круга и квадрата.

\[S_{\text{фигуры}} = S_{\text{круга}} + S_{\text{квадрата}}\]
\[S_{\text{фигуры}} = 12.566368 + 8 = 20.566368 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 20.566368 квадратным сантиметрам.