Чему равна площадь треугольника, если точка O - центр вписанной окружности, сторона AB равна 7, а радиус окружности

\(\frac{5}{2}\).

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу площади треугольника, где радиус вписанной окружности является одной из известных величин.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона, где стороны треугольника и полупериметр являются известными величинами. Однако, в этой задаче у нас есть другая информация, которую мы можем использовать для нахождения площади.

Для начала давайте найдем полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется по формуле \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\), где AB, BC и CA - стороны треугольника.

В нашем случае сторона AB равна 7, так как радиус окружности является известным, давайте обозначим его как r. Так как O является центром вписанной окружности, то радиус окружности будет равен расстоянию от O до любой стороны треугольника. Следовательно, мы можем записать:

OA + OB = AB, где OA и OB - радиусы, OA = OB = r.

2r = 7

r = \(\frac{7}{2}\)

Теперь, зная сторону AB и радиус окружности, мы можем вычислить полупериметр треугольника, подставив значения в формулу:

\[p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = \frac{{7 + 2r + 2r}}{2} = \frac{{7 + 2 \cdot \frac{7}{2} + 2 \cdot \frac{7}{2}}}{2} = \frac{{7 + 7 + 7}}{2} = \frac{{21}}{2} = 10.5\]

Теперь мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{10.5 \cdot (10.5-7) \cdot (10.5-2r) \cdot (10.5-2r)}\]

Подставим значение r и вычислим:

\[S = \sqrt{10.5 \cdot (10.5-7) \cdot (10.5-2 \cdot \frac{7}{2}) \cdot (10.5-2 \cdot \frac{7}{2})} = \sqrt{10.5 \cdot 3.5 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2646.75} \approx 51.43\]

Таким образом, площадь треугольника равна примерно 51.43.