Чему равна площадь основания цилиндра, если его боковая поверхность составляет 300 квадратных сантиметров

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые знания о цилиндрах. Цилиндр — это геометрическое тело, которое имеет две параллельные основания, и все точки на боковой поверхности соединяют с участками этих оснований по кратчайшим путям. Образующая цилиндра — это отрезок, соединяющий центры оснований и параллельный их плоскости.

Мы знаем, что боковая поверхность цилиндра составляет 300 квадратных сантиметров. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, вытянутый по высоте (это равносильно образующей цилиндра) и по периметру основания.

Пусть \(h\) обозначает высоту цилиндра, \(r\) — радиус его основания, а \(l\) — длину образующей. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра можно выразить следующим образом:

\[Площадь\_боковой\_поверхности = высота \times периметр\_основания\]

Периметр основания, будучи кругом с радиусом \(r\), равен \(2\pi r\). Таким образом, выражение для площади боковой поверхности цилиндра можно переписать следующим образом:

\[300 = h \times 2\pi r\]

Теперь нам нужно найти площадь основания \((S\_осн)\). Основание цилиндра — это круг площадью \(\pi r^2\). Поэтому нам нужно найти значение радиуса \(r\), чтобы затем найти площадь основания цилиндра.

Разделим оба выражения на \(2\pi\):

\[50 = h \times r\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 300 = h \times 2\pi r \\ 50 = h \times r \end{cases}\]

Решим эту систему методом подстановки. Выразим \(h\) относительно \(r\) из одного уравнения и подставим его в другое уравнение:

\[h = \frac{50}{r}\]

Подставим это значение \(h\) в первое уравнение:

\[300 = \frac{50}{r} \times 2\pi r\]

Упростим:

\[300 = 100\pi\]

Разделим обе стороны на 100\pi:

\[r = \frac{300}{100\pi}\]

Теперь у нас есть значение радиуса \(r\). Продолжим и найдем площадь основания цилиндра (\(S\_осн\)):

\[S\_осн = \pi r^2\]

Подставим значение \(r\) в это выражение:

\[S\_осн = \pi\left(\frac{300}{100\pi}\right)^2\]

Упростим:

\[S\_осн = \pi\left(\frac{300^2}{100^2\pi^2}\right)\]

\[S\_осн = \pi\left(\frac{90000}{10000\pi^2}\right)\]

\[S\_осн = \frac{90000\pi}{10000\pi^2}\]

\[S\_осн = \frac{9}{\pi}\approx2.866\]

Итак, площадь основания цилиндра равна приблизительно 2.866 квадратных сантиметров.