Чему равна площадь основания цилиндра, если его боковая поверхность составляет 300 квадратных сантиметров

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые знания о цилиндрах. Цилиндр — это геометрическое тело, которое имеет две параллельные основания, и все точки на боковой поверхности соединяют с участками этих оснований по кратчайшим путям. Образующая цилиндра — это отрезок, соединяющий центры оснований и параллельный их плоскости.

Мы знаем, что боковая поверхность цилиндра составляет 300 квадратных сантиметров. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, вытянутый по высоте (это равносильно образующей цилиндра) и по периметру основания.

Пусть $h$ обозначает высоту цилиндра, $r$ — радиус его основания, а $l$ — длину образующей. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра можно выразить следующим образом:

$$Площадь\mathrm{\_}боковой\mathrm{\_}поверхности=высота\times периметр\mathrm{\_}основания$$

Периметр основания, будучи кругом с радиусом $r$, равен $2\pi r$. Таким образом, выражение для площади боковой поверхности цилиндра можно переписать следующим образом:

$$300=h\times 2\pi r$$

Теперь нам нужно найти площадь основания $(S\mathrm{\_}осн)$. Основание цилиндра — это круг площадью $\pi r^2$. Поэтому нам нужно найти значение радиуса $r$, чтобы затем найти площадь основания цилиндра.

Разделим оба выражения на $2\pi$:

$$50=h\times r$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}300=h\times 2\pi r\\ 50=h\times r\end{array}$$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $h$ относительно $r$ из одного уравнения и подставим его в другое уравнение:

$$h=\frac{50}{r}$$

Подставим это значение $h$ в первое уравнение:

$$300=\frac{50}{r}\times 2\pi r$$

Упростим:

$$300=100\pi$$

Разделим обе стороны на 100\pi:

$$r=\frac{300}{100\pi }$$

Теперь у нас есть значение радиуса $r$. Продолжим и найдем площадь основания цилиндра ($S\mathrm{\_}осн$):

$$S\mathrm{\_}осн=\pi r^2$$

Подставим значение $r$ в это выражение:

$$S\mathrm{\_}осн=\pi {\left(\frac{300}{100\pi }\right)}^2$$

Упростим:

$$S\mathrm{\_}осн=\pi \left(\frac{{300}^2}{{100}^2{\pi }^2}\right)$$

$$S\mathrm{\_}осн=\pi \left(\frac{90000}{10000{\pi }^2}\right)$$

$$S\mathrm{\_}осн=\frac{90000\pi }{10000{\pi }^2}$$

$$S\mathrm{\_}осн=\frac{9}{\pi }\approx 2.866$$

Итак, площадь основания цилиндра равна приблизительно 2.866 квадратных сантиметров.