Чему равна площадь боковой поверхности усеченной пирамиды с правильным четырехугольным основанием, если длины сторон

Пусть \(ABCD\) - четырехугольник, являющийся основанием усеченной пирамиды. Для начала найдем площадь боковой поверхности.

Дано: длины сторон оснований \(ABCD\) равны 10 дм и 16 дм, а апофема \(h\) равна 6 дм.

Пусть \(E\) и \(F\) - середины сторон \(AD\) и \(BC\) соответственно. Также, пусть \(O\) - вершина усеченной пирамиды, а \(M\) - точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник \(OEF\), в котором:

\(OE = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) дм (так как \(E\) - середина стороны \(AD\))

\(OF = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) дм (так как \(F\) - середина стороны \(BC\))

\(EF = CD = 16 - 10 = 6\) дм (так как \(CD\) - разность сторон оснований)

Апофема \(h\) представляет собой высоту треугольника \(OMF\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(OEM\), в котором:

\(OM = \sqrt{OE^2 - ME^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{EF}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) дм (по теореме Пифагора)

Теперь можем найти площадь треугольника \(OMF\) по формуле для прямоугольного треугольника:

\(S_{OMF} = \frac{1}{2} \cdot OF \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) дм²

Так как площади треугольников \(OMF\) и \(OEM\) равны, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет 24 дм².

Для нахождения площади полной поверхности усеченной пирамиды нужно также добавить площади оснований. Площадь одного основания равна площади четырехугольника \(ABCD\).

Площадь четырехугольника можно найти, разбив его на два треугольника \(DAB\) и \(CBA\). Пусть \(a\) и \(b\) - длины оснований треугольников, а \(h_1\) и \(h_2\) - соответствующие высоты.

Таким образом, площадь одного основания равна:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2\]

В треугольнике \(DAB\):
\(a = AD = 10\) дм (длина стороны основания треугольника \(DAB\))
\(h_1 = OM = 4\) дм (высота треугольника \(DAB\))

В треугольнике \(CBA\):
\(b = BC = 16\) дм (длина стороны основания треугольника \(CBA\))
\(h_2 = OF + h = 8 + 6 = 14\) дм (высота треугольника \(CBA\))

Таким образом, площадь одного основания равна:
\[S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 14 = 20 + 112 = 132 \ \text{дм²}\]

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + 2 \cdot S_{\text{основание}} = 24 + 2 \cdot 132 = 24 + 264 = 288 \ \text{дм²}\]

Поэтому площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна 24 дм², а площадь полной поверхности равна 288 дм².