Чему равна длина отрезка AO внутри квадрата ABCD, если известно, что ∠AOD=135∘, BO=12 и DO=4? Буду признателен

Обратимся к данной геометрической задаче. У нас есть квадрат ABCD, в котором заданы следующие данные: угол AOD равен 135 градусов, BO равно 12, а DO равно 4. Мы должны найти длину отрезка AO.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(C)\]

Где a, b и c - стороны треугольника, а C - угол между сторонами a и b.

В нашем случае треугольник AOD будет прямоугольным, поскольку AD является стороной квадрата ABCD, а угол АОD равен 90 градусам. Тогда у нас есть:

\[c^2 = AO^2 + DO^2 - 2\cdot AO\cdot DO\cdot\cos(\angle AOD)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[AO^2 = c^2 = AO^2 + 4^2 - 2\cdot AO\cdot 4\cdot\cos(135^\circ)\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AO.

Перенесем AO^2 на левую сторону уравнения:

\[0 = AO^2 - AO^2 - 4^2 + 2\cdot AO\cdot 4\cdot\cos(135^\circ)\]

Упростим:

\[0 = -16 + 8\cdot AO\cdot\cos(135^\circ)\]

Теперь найдем значение \(\cos(135^\circ)\). Угол 135 градусов принадлежит третьей четверти, где значение косинуса отрицательно. Поэтому \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[0 = -16 + 8\cdot AO\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})\]

Далее произведем необходимые вычисления:

\[16 = 8\cdot AO\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[16 = 4\cdot AO\cdot\sqrt{2}\]

\[4 = AO\cdot\sqrt{2}\]

Теперь возводим в квадрат обе стороны уравнения:

\[4^2 = (AO\cdot\sqrt{2})^2\]

\[16 = AO^2\cdot 2\]

\[AO^2 = \frac{16}{2}\]

\[AO^2 = 8\]

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[AO = \sqrt{8}\]

\[AO = 2\sqrt{2}\]

Таким образом, длина отрезка AO внутри квадрата ABCD равна \(2\sqrt{2}\).