Чему равна длина меньшего основания прямоугольной трапеции, если острый угол равен 45°, меньшая боковая сторона равна

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. В данной задаче у нас есть прямоугольная трапеция:

\[
\begin{align*}
AB &= BC \quad &\text{(основание)}\\
DC &= AD \quad &\text{(основание)}\\
AB &\parallel DC \quad &\text{(параллельность оснований)}
\end{align*}
\]

Угол ABC в данной задаче является острым и равен 45°.
Мы также знаем, что длина меньшей боковой стороны равна 15 см.

Для решения задачи, начнем с построения диагоналей AM и BN. После этого проведем перпендикуляр AO от точки A к стороне BC.

\[
\begin{matrix}
& \\
AM & \\
& \\
& & AO \\
& & \downarrow \\
& & O \\
& & \downarrow \\
& & BN \\
& \\
\end{matrix}
\]

Так как AB и DC являются параллельными сторонами, то угол AOB равен углу BNC и составляет 90° (угол между параллельными прямыми и пересекающей их прямой равен 90°).

Теперь мы можем разбить трапецию на два прямоугольных треугольника: ABC и BCD.

\[
\begin{matrix}
& \\
AM & \\
& \\
& & AO \\
& \diagup & \downarrow \\
& / & O \\
& \diagdown & \downarrow \\
& BM & BN \\
& \\
\end{matrix}
\]

В треугольнике ABC мы знаем значение угла ABC, который равен 45°, а также значение стороны AB, которая равна BN. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения других неизвестных величин. Обозначим неизвестные стороны:

\[
\begin{align*}
BC &= a \\
AC &= b
\end{align*}
\]

Используем тригонометрический закон синусов в треугольнике ABC:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\frac{BN}{\sin 45°} = \frac{a}{\sin 90°}
\]

\[
BN = a
\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В этом треугольнике мы знаем значение гипотенузы BN, которая равна 15 см, а также угол NBC, который равен 45°. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти неизвестные стороны:

\[
\begin{align*}
BC &= a \\
DC &= d
\end{align*}
\]

Снова используем тригонометрический закон синусов:

\[
\frac{BN}{\sin B} = \frac{BC}{\sin C}
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\frac{15}{\sin 45°} = \frac{a}{\sin 90°}
\]

\[
a = 15
\]

Таким образом, длина меньшего основания прямоугольной трапеции равна 15 см.