1) Яку площу має трикутник МНК, якщо світло з точки С утворює тінь М1Н1К1 паралельну площині а, і розміри тіні М1Н1К1

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти площадь треугольника МНК, нам необходимо знать длины его сторон. Мы уже знаем длины сторон тени треугольника М1Н1К1. Пусть эти длины равны 30 см, 25 см и 25 см.

Дано, что отношение SM к SM1 равно 2:3. Если мы обозначим длину отрезка SM как "x", то длина отрезка SM1 будет равна 1.5x.

Таким образом, длина отрезка М1К1 равна 30 см, а длина отрезка М1С равна 25 см.

Теперь давайте рассмотрим подобные треугольники М1Н1К1 и МНК. Из геометрии, мы знаем, что пропорции сторон подобных треугольников равны.

Поэтому, можно записать следующие пропорции:
\[\frac{МН}{М1Н1} = \frac{МК}{М1К1} = \frac{НК}{Н1К1}\]

Давайте найдем отношение длин сторон треугольников МНК и М1Н1К1.
\[\frac{МН}{30} = \frac{МК}{25} = \frac{НК}{25}\]

Теперь нам нужно найти длины сторон треугольника МНК.

Рассмотрим отношение длин отрезков МК и М1К1:
\[\frac{МК}{25} = \frac{x}{30}\]

Мы знаем, что отношение SM к SM1 равно 2:3, поэтому можем записать следующее:
\[\frac{x}{1.5x} = \frac{2}{3}\]

Решим эту пропорцию:
\[\frac{x}{1.5x} = \frac{2}{3}\]
\[3x = 3x\]
\[2x = 1.5x\]
\[x = \frac{1.5}{2}x\]

Теперь мы знаем, что "x" равняется 1.5 см.

Теперь, зная длины отрезков М1С и М1К1, мы можем использовать те же пропорции для нахождения длин сторон треугольника МНК.
\[\frac{МН}{30} = \frac{НК}{25} = \frac{МК}{1.5 \cdot 1}\]

Выразим длину стороны МК:
\[\frac{МК}{1.5} = \frac{МН}{30}\]
\[\frac{МК}{1.5} = \frac{НК}{25}\]

Решим пропорции:
\[\frac{МН}{30} = \frac{НК}{25} = \frac{МК}{1.5}\]
\[\frac{МН}{30} = \frac{1.5 \cdot 1}{1}\]
\[\frac{НК}{25} = \frac{\frac{1.5}{2} \cdot 1}{1}\]

Решение пропорции даст нам длины сторон треугольника МНК:
\[\frac{МН}{30} = \frac{1.5}{1}\]
\[\frac{НК}{25} = \frac{1.5}{2}\]

Решим пропорции:
\[\frac{МН}{30} = \frac{1.5}{1}\]
\[\frac{НК}{25} = \frac{1.5}{2}\]
\[\frac{МН}{30} = 1.5\]
\[\frac{НК}{25} = 0.75\]

Теперь мы знаем, что длина стороны МН равна 45 см, а длина стороны НК равна 18.75 см.

Чтобы найти площадь треугольника МНК, мы можем использовать формулу Герона:
\[Площадь = \sqrt{п(п-а)(п-б)(п-с)}\]
где а, б, с - длины сторон треугольника, а п - полупериметр.

Полупериметр равен сумме длин сторон, деленной на 2:
\[п = \frac{45 + 18.75 + 30}{2}\]
\[п = \frac{93.75}{2}\]
\[п = 46.875\]

Теперь, подставим значения в формулу Герона:
\[Площадь = \sqrt{46.875(46.875-45)(46.875-18.75)(46.875-30)}\]

После подсчетов получим:
\[Площадь = \sqrt{46.875 \cdot 1.875 \cdot 28.125 \cdot 16.875}\]
\[Площадь = \sqrt{15758.59375}\]
\[Площадь \approx 125.61422 \,см^2\]

Таким образом, площадь треугольника МНК составляет примерно 125.61422 квадратных сантиметров.

Переходим ко второй задаче.

2) Чтобы найти длину отрезка КВ1, нам нужно использовать информацию о прямых к и м, которые пересекают параллельные плоскости а и β в точках А1, В1, А2 и В2.

Длина отрезка В1В2 равна 15 см, а отношение А1К к А1А2 равно 1:3.

Обозначим длину отрезка А1К как "х", а длину отрезка А1А2 как "у".

Таким образом, у нас есть следующие пропорции:
\[\frac{А1К}{А1А2} = \frac{х}{у} = \frac{1}{3}\]

Давайте решим эту пропорцию:
\[\frac{х}{у} = \frac{1}{3}\]

Мы также знаем, что отрезок В1В2 равен 15 см, поэтому можем записать следующие уравнения:
\[х + у + 15 = 2у\]

Теперь, сочитая эти два уравнения, мы можем решить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{х}{у} = \frac{1}{3} \\
х + у + 15 = 2у
\end{cases}
\]

Решим систему уравнений:

1) Уравнение \(\frac{х}{у} = \frac{1}{3}\)
Умножим обе части на "у":
\(х = \frac{у}{3}\)

2) Уравнение \(х + у + 15 = 2у\)
Перенесем все значения с "у" на одну сторону:
\(х - 2у = - 15\)

Подставим значение "х" из первого уравнения во второе уравнение:
\(\frac{у}{3} - 2у = - 15\)

Умножим каждый член на 3, чтобы избавиться от дробей:
\(у - 6у = - 45\)

Скомбинируем члены с "у":
\(-5у = -45\)

Разделим обе части на -5:
\(у = \frac{-45}{-5}\)
\(у = 9\)

Теперь, найдем значение "х", подставив значение "у" в первое уравнение:
\(х = \frac{9}{3}\)
\(х = 3\)

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка А1К равна 3 см, а длина отрезка А1А2 равна 9 см.

Чтобы найти длину отрезка КВ1, нам нужно вычислить разность между длиной отрезка А1А2 и длиной отрезка А1К:
\(КВ_1 = А1А2 - А1К\)
\(КВ_1 = 9 - 3\)
\(КВ_1 = 6\) см

Таким образом, длина отрезка КВ1 составляет 6 сантиметров.

Если у вас остались вопросы или вам нужны дополнительные пояснения, пожалуйста, сообщите. Я готов помочь!