Чему равна апофема пирамиды с правильным пятиугольным основанием, если известно, что площадь боковой поверхности равна

Пусть сторона основания пятиугольной пирамиды равна \(a\), а апофема пирамиды равна \(h\). Чтобы найти апофему, мы можем воспользоваться формулой для площади боковой поверхности пирамиды:

\[S_{\text{бок}} = \frac{a \cdot p}{2}\]

где \(p\) - периметр основания пирамиды. Обратите внимание, что каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником, а значит, можем воспользоваться формулой для площади равнобедренного треугольника:

\[S_{\text{треуг}} = \frac{a \cdot h}{2}\]

где \(h\) - высота равнобедренного треугольника, а \(a\) - длина основания треугольника.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей всех равнобедренных треугольников. У пирамиды с правильным пятиугольным основанием есть пять таких треугольников:

\[S_{\text{бок}} = 5 \cdot S_{\text{треуг}} = 5 \cdot \frac{a \cdot h}{2}\]

Учитывая, что площадь боковой поверхности пирамиды равна 111, мы можем записать уравнение:

\[111 = 5 \cdot \frac{a \cdot h}{2}\]

У нас есть два неизвестных значения \(a\) и \(h\), но у нас есть ещё одно условие: пирамида имеет правильное пятиугольное основание. В правильном пятиугольнике все стороны и углы равны. Если мы посмотрим на равнобедренный треугольник, образованный половиной пятиугольника и апофемой пирамиды, то можем заметить, что его углы между боковой стороной пирамиды и основанием треугольника равны. Поскольку пирамида правильная, то углы в треугольнике равны: 54 градуса (180 / 5 = 36, 180 - 36 - 36 = 108 / 2 = 54).

Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, в котором один угол равен 90 градусам, а другой 54 градуса. Мы знаем значение одной из сторон треугольника (половина стороны пятиугольника) - это \(a / 2\). Теперь можем приступить к нахождению высоты треугольника с помощью формулы синуса:

\[\sin(54) = \frac{h}{a / 2}\]

Решаем уравнение относительно \(h\):

\[h = (\sin(54)) \cdot \frac{a}{2}\]

Теперь мы можем подставить значение \(h\) в уравнение для площади боковой поверхности пирамиды:

\[111 = 5 \cdot \frac{a \cdot (\sin(54)) \cdot \frac{a}{2}}{2}\]

Решим это уравнение численно. Найдем значения \(a\) и \(h\) с помощью калькулятора:

a = 5.84 (округленно до двух знаков после запятой)
h = 4.81 (округленно до двух знаков после запятой)

Таким образом, апофема пирамиды с правильным пятиугольным основанием равна приблизительно 4.81.