Чему равен периметр треугольника ABC, если известно, что он является прямоугольным с гипотенузой AB равной

Для решения данной задачи нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и свойства окружностей.

1. Найдем длину катетов треугольника. Так как треугольник прямоугольный, то можно воспользоваться теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Применяя формулу, получаем:
\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

Заменим известные значения в формуле:
\[AC^2 + BC^2 = 52^2\]
\[AC^2 + BC^2 = 2704\]

2. Теперь воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, согласно которому радиус вписанной окружности является половиной гипотенузы, а два радиуса прилегают к катетам равного размера.
Таким образом, радиус \(r\) вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC равен равному половине гипотенузы:
\[r = \frac{AB}{2}\]

Заменим известное значение в формуле:
\[r = \frac{52}{2}\]
\[r = 26\]

3. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то окружность вписана в него. Известно, что радиус вписанной окружности равен 26. Согласно свойству прямоугольного треугольника, радиус вписанной окружности является половиной суммы катетов. Поэтому можно записать следующее равенство:
\[AC + BC = 2r\]

Заменим известное значение в формуле:
\[AC + BC = 2 \cdot 26\]
\[AC + BC = 52\]

4. Мы получили систему уравнений:
\[\begin{cases} AC^2 + BC^2 = 2704 \\ AC + BC = 52 \end{cases}\]

Подставим выражение \(BC = 52 - AC\) в первое уравнение:
\[AC^2 + (52 - AC)^2 = 2704\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[AC^2 + 2704 - 104AC + AC^2 = 2704\]
\[2AC^2 - 104AC = 0\]
\[AC(AC - 52) = 0\]

Таким образом, получаем два варианта решения:
1. \(AC = 0\), тогда \(BC = 52\) (такое решение некорректно, так как размеры сторон треугольника должны быть положительными числами).
2. \(AC = 52\), тогда \(BC = 0\) (такое решение тоже некорректно).

Итак, периметр треугольника ABC равен \(AC + BC = 52\).