Чему равен косинус двугранного угла при основании пирамиды SABCD, если апофема равна 8 и радиус описанной около

Для решения этой задачи нам потребуется использовать геометрию и тригонометрию. Давайте приступим к её решению.

Во-первых, нужно сформулировать известные данные. У нас есть пирамида SABCD, у которой апофема (растояние от точки A до центра окружности, проходящей через точки S, B, C и D) равна 8 и радиус описанной около основания окружности равен $r$, который нам неизвестен.

Давайте посмотрим на схему этой пирамиды:

$$picture$$

Чтобы определить косинус двугранного угла при основании пирамиды, нам понадобится знать соотношения между сторонами и углами в пирамиде. Давайте рассмотрим треугольник SAB с основанием SA и высотой SD:

$$picture$$

Из геометрии пирамиды мы знаем, что угол ASD является прямым углом, так как SD - это высота, проведенная из вершины S к основанию AB. Кроме того, угол ASB является центральным углом к окружности, так как отрезок AB является хордой этой окружности.

Закон косинусов в треугольнике SAB гласит:

$$A{B}^2=S{A}^2+S{B}^2-2\cdot SA\cdot SB\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Перепишем это уравнение следующим образом:

$$r^2=(r-8{)}^2+(r-8{)}^2-2\cdot (r-8{)}^2\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Давайте решим это уравнение для $\cos (\mathrm{\angle }ASB)$ и найдем значение косинуса двугранного угла при основании пирамиды.

Раскрываем скобки:

$$r^2=r^2-16r+64+r^2-16r+64-2(r^2-16r+64)\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Упрощаем:

$$r^2=2r^2-32r+128-2(r^2-16r+64)\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Раскрываем скобки:

$$r^2=2r^2-32r+128-2r^2+32r-128\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Упрощаем:

$$r^2=0-128\cdot \cos (\mathrm{\angle }ASB)$$

Делим обе части уравнения на -128:

$$\cos (\mathrm{\angle }ASB)=\frac{r^2}{128}$$

Теперь мы можем вычислить косинус двугранного угла при основании пирамиды. Подставим значение $r=8$ в уравнение:

$$\cos (\mathrm{\angle }ASB)=\frac{8^2}{128}=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}$$

Таким образом, косинус двугранного угла при основании пирамиды SABCD равен $\frac{1}{2}$.