5. Какова площадь фигуры, образованной объединением всех точек двух равных прямоугольных треугольников с площадью

Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Разобраться в условии задачи
У нас есть два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них составляет 12. Один из треугольников имеет свою вершину прямого угла на гипотенузе другого треугольника, при этом у треугольников есть общая биссектриса прямого угла.

Шаг 2: Нарисовать фигуру
Для лучшего понимания задачи, давайте нарисуем фигуру, описанную в условии.

Шаг 3: Найти длину общей биссектрисы
Для решения задачи нам необходимо знать длину общей биссектрисы прямых углов треугольников. По условию задачи сказано, что эта длина равна \(x\).

Шаг 4: Разделить фигуру на два треугольника
Так как у нас есть два прямоугольных треугольника, то разобьем нашу фигуру на две таких треугольника. Один из треугольников будет иметь катетами \(a\) и \(x\), а другой треугольник - катетами \(b\) и \(x\).

Шаг 5: Найти площадь каждого прямоугольного треугольника
Площадь треугольника можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\). По условию задачи известно, что площадь каждого треугольника составляет 12. Поэтому мы можем записать уравнения: \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot x = 12\) и \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot x = 12\).

Шаг 6: Решить уравнения
Теперь, когда у нас есть уравнения, мы можем решить их относительно неизвестных величин \(a\) и \(b\). Раскроем скобки и упростим уравнения: \(a \cdot x = 24\) и \(b \cdot x = 24\).

Шаг 7: Найти значения \(a\) и \(b\)
Разделим оба уравнения на \(x\) и найдем значения \(a\) и \(b\). Получим \(a = \frac{24}{x}\) и \(b = \frac{24}{x}\).

Шаг 8: Найти площадь объединения треугольников
Теперь, когда у нас есть значения \(a\) и \(b\), мы можем найти площадь объединения треугольников. Для этого просуммируем площади каждого треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot x + \frac{1}{2} \cdot b \cdot x\).

Шаг 9: Подставить найденные значения
Подставим значения \(a\) и \(b\) в уравнение и упростим его: \(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{x} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{x} \cdot x\). Получим \(S = 12 + 12 = 24\).

Ответ: Площадь фигуры, образованной объединением всех точек двух равных прямоугольных треугольников с площадью 12, равна 24.

Мне нравится данная задача, так как она позволяет применить знания о прямоугольных треугольниках, сумме площадей и решении уравнений.