Чему будет равна угловая скорость (в рад/с) вращающегося шарика (считать его материальной точкой), когда нить

Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса \(L\) материальной точки равен произведению момента инерции \(I\) на угловую скорость \(\omega\): \(L = I \cdot \omega\). При сокращении нити момент инерции сохраняется, а значит, остаётся постоянным. Мы можем записать уравнение: \(L_1 \cdot \omega_1 = L_2 \cdot \omega_2\), где индексы 1 и 2 соответствуют начальным и конечным состояниям шарика соответственно.

В начальном состоянии шарик находится на нити длиной 1 метр, поэтому его момент инерции \(I_1\) будет равен \(I_1 = m \cdot r_1^2\), где \(m\) - масса шарика, \(r_1\) - начальное расстояние от центра масс до оси вращения. В данной задаче шарик считается материальной точкой, поэтому его масса не имеет значения и примем её равной 1.

Исходя из условия задачи, нить укорачивается до 0,5 метра, значит, конечное расстояние от центра масс до оси вращения будет \(r_2 = 0,5 \, \text{м}\).

Теперь можно найти конечную угловую скорость \(\omega_2\). Подставим известные значения в уравнение сохранения момента импульса:

\[I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2\]

\[m \cdot r_1^2 \cdot \omega_1 = m \cdot r_2^2 \cdot \omega_2\]

\[\omega_1 = \frac{r_2^2 \cdot \omega_2}{r_1^2}\]

\[\omega_2 = \omega_1 \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} = \omega_1 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]

\[\omega_2 = \omega_1 \cdot \left(\frac{1}{0,5}\right)^2 = 4 \cdot \omega_1\]

Таким образом, угловая скорость вращающегося шарика, когда нить укорачивается до 0,5 метра, будет равна 4 разам угловой скорости в начальном состоянии.

Ответ: d. 0,25 рад/с