Біреуінің бұрышы бірінші сектор арқылы көрсетіленген бұрышынан 60°-тан артық болатын екі секторға бөлінген әр сектордың

Хорошо, давайте разберем задачу подробно.

Мы знаем, что у нас есть один сектор, обозначенный за основу \( O_1 \), а также два сектора, полученных делением первого на два равных сектора. Обозначим эти два сектора как \( O_2 \) и \( O_3 \).

Мы хотим найти угол каждого из этих секторов. Первым шагом определим значение угла сектора \( O_1 \), который, как известно, больше 60°.

Известно, что для любого сектора площадь может быть вычислена по формуле:
\[ S = \frac{{\theta}}{360°} \cdot \pi r^2 \]
где \( S \) - площадь сектора, \( \theta \) - угол сектора в градусах, \( r \) - радиус окружности.

Можем записать формулу для площадей секторов \( O_1 \), \( O_2 \) и \( O_3 \) следующим образом:
\[ S_{O_1} = \frac{{\theta_{O_1}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]
\[ S_{O_2} = \frac{{\theta_{O_2}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]
\[ S_{O_3} = \frac{{\theta_{O_3}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Так как сектор \( O_1 \) делится на два равных сектора, то каждый из получившихся секторов будет иметь половину площади \( O_1 \). Таким образом, можно записать следующее уравнение:
\[ S_{O_1} = 2 \cdot S_{O_2} \]
или
\[ \frac{{\theta_{O_1}}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_2}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Далее, известно, что разность между углами секторов \( O_1 \) и \( O_2 \) составляет 60°. Мы можем записать это в виде уравнения:
\[ \theta_{O_1} - \theta_{O_2} = 60° \]

Теперь, используя эти два уравнения, можем решить их относительно углов секторов \( O_1 \) и \( O_2 \). Подставим значение площади сектора \( O_2 \) из первого уравнения во второе уравнение:

\[ \frac{{\theta_{O_1}}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_1} - 60°}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Упростим это уравнение:

\[ \theta_{O_1} = 2 \cdot (\theta_{O_1} - 60°) \]

Раскроем скобки:

\[ \theta_{O_1} = 2 \cdot \theta_{O_1} - 120° \]

Перенесем переменную на одну сторону уравнения:

\[ \theta_{O_1} - 2 \cdot \theta_{O_1} = -120° \]

Упростим выражение:

\[ -\theta_{O_1} = -120° \]

Поменяем знаки:

\[ \theta_{O_1} = 120° \]

Таким образом, угол сектора \( O_1 \) равен 120°.

Теперь, чтобы найти угол секторов \( O_2 \) и \( O_3 \), можно использовать значение угла \( \theta_{O_1} \). Используя первое уравнение:

\[ \frac{{\theta_{O_1}}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_2}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Подставляем значение угла \( \theta_{O_1} \):

\[ \frac{{120°}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_2}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Упрощаем выражение:

\[ \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 = \frac{{\theta_{O_2}}}{180°} \cdot \pi r^2 \]

Переносим переменную на одну сторону уравнения:

\[ \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 - \frac{{\theta_{O_2}}}{180°} \cdot \pi r^2 = 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ \frac{\pi r^2}{180°} \cdot (180° - \theta_{O_2}) = 0 \]

Так как площадь сектора не может быть равна нулю, то у нас остается равенство:

\[ 180° - \theta_{O_2} = 0 \]

Теперь находим значение угла \( \theta_{O_2} \):

\[ \theta_{O_2} = 180° \]

Таким образом, угол сектора \( O_2 \) равен 180°.

Теперь, чтобы найти угол сектора \( O_3 \), мы можем использовать то же самое уравнение:

\[ \frac{{\theta_{O_1}}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_3}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Подставляем значение угла \( \theta_{O_1} \):

\[ \frac{{120°}}{360°} \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \frac{{\theta_{O_3}}}{360°} \cdot \pi r^2 \]

Упрощаем выражение:

\[ \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 = \frac{{\theta_{O_3}}}{180°} \cdot \pi r^2 \]

Переносим переменную на одну сторону уравнения:

\[ \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 - \frac{{\theta_{O_3}}}{180°} \cdot \pi r^2 = 0 \]

Упрощаем выражение:

\[ \frac{\pi r^2}{180°} \cdot (180° - \theta_{O_3}) = 0 \]

Так как площадь сектора не может быть равна нулю, то у нас остается равенство:

\[ 180° - \theta_{O_3} = 0 \]

Теперь находим значение угла \( \theta_{O_3} \):

\[ \theta_{O_3} = 180° \]

Таким образом, угол сектора \( O_3 \) также равен 180°.

В заключение, угол сектора \( O_1 \) равен 120°, а углы секторов \( O_2 \) и \( O_3 \) равны по 180°.