b ⃗; в) выразить вектор c ⃗ через векторы a ⃗ и b ⃗. 1в базисе векторов p ⃗ и q ⃗, где |p ⃗| =2, |q ⃗| =3, и ∠p

Для начала, давайте найдем вектор c ⃗.

Дано, что векторы a ⃗ и b ⃗ выражаются следующим образом:
a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗
b ⃗ = n p ⃗ – (m + 1) q ⃗

Для вектора c ⃗ нужно сложить a ⃗ и b ⃗:
c ⃗ = a ⃗ + b ⃗

Подставим выражения для a ⃗ и b ⃗:
c ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗ + n p ⃗ – (m + 1) q ⃗

Теперь объединим соответствующие слагаемые:
c ⃗ = (m+1 + n) p ⃗ + (n - m - 1) q ⃗

Итак, вектор c ⃗ равен (m+1 + n) p ⃗ + (n - m - 1) q ⃗.

Теперь перейдем к пункту а) и найдем косинус угла между векторами a ⃗ и b ⃗.

Используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
$\text{Math input error}$

Где $\text{Math input error}$ - скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗, а $\text{Math input error}$ и $\text{Math input error}$ - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение a ⃗ и b ⃗:
a ⃗ \cdot b ⃗ = ((m+1) p ⃗ + n q ⃗) \cdot (n p ⃗ – (m + 1) q ⃗)

Раскроем скобки и применим свойство скалярного произведения:
a ⃗ \cdot b ⃗ = (m+1) p ⃗ \cdot n p ⃗ - (m+1) p ⃗ \cdot (m + 1) q ⃗ + n q ⃗ \cdot n p ⃗ - n q ⃗ \cdot (m + 1) q ⃗

Выполним умножение векторов:
a ⃗ \cdot b ⃗ = (m+1)(n p ⃗ \cdot p ⃗) - (m+1)(q ⃗ \cdot q ⃗) + n(q ⃗ \cdot p ⃗) - n(m + 1)(q ⃗ \cdot q ⃗)

Обратимся к предоставленным нам данным: |p ⃗| = 2, |q ⃗| = 3, и ∠p ⃗ q ⃗ = π/3.
То есть скалярное произведение p ⃗ \cdot p ⃗ равно квадрату длины вектора p ⃗, то есть $\text{Math input error}$.
Аналогично, $\text{Math input error}$.
Также, $\text{Math input error}$.

Подставим эти значения обратно в выражение для a ⃗ \cdot b ⃗:
a ⃗ \cdot b ⃗ = (m+1)(4) - (m+1)(9) + n(3) - n(m + 1)(9)

Раскроем скобки и упростим:
a ⃗ \cdot b ⃗ = 4m + 4 - 9m - 9 + 3n - 9nm - 9n

Объединим и упростим слагаемые:
a ⃗ \cdot b ⃗ = -5m - 5 - 6nm + 3n

Теперь найдем длины векторов a ⃗ и b ⃗:
|a ⃗| = |(m+1) p ⃗ + n q ⃗| = \sqrt{(m+1)^2 |p ⃗|^2 + n^2 |q ⃗|^2 + 2(m+1)n(p ⃗ \cdot q ⃗)}
|a ⃗| = \sqrt{(m+1)^2 (4) + n^2 (9) + 2(m+1)n(3)}

|b ⃗| = |n p ⃗ – (m + 1) q ⃗| = \sqrt{n^2 |p ⃗|^2 + (m+1)^2 |q ⃗|^2 - 2(m+1)n(p ⃗ \cdot q ⃗)}
|b ⃗| = \sqrt{n^2 (4) + (m+1)^2 (9) - 2(m+1)n(3)}

Подставим эти значения в формулу для косинуса:
$\cos (\theta )=\frac{-5m-5-6nm+3n}{\sqrt{(m+1{)}^2(4)+n^2(9)+2(m+1)n(3)}\cdot \sqrt{n^2(4)+(m+1{)}^2(9)-2(m+1)n(3)}}$

Теперь перейдем к пункту б) и найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗.

Площадь параллелограмма выражается через длины этих векторов и синус угла между ними:
Площадь = |a ⃗| |b ⃗| \sin(\theta)

Подставим значения:
Площадь = \sqrt{(m+1)^2 (4) + n^2 (9) + 2(m+1)n(3)} \cdot \sqrt{n^2 (4) + (m+1)^2 (9) - 2(m+1)n(3)} \cdot \sin(\theta)

Теперь перейдем к пункту в) и найдем выражение вектора c ⃗ через векторы a ⃗ и b ⃗.

Мы уже нашли ранее, что вектор c ⃗ равен (m+1 + n) p ⃗ + (n - m - 1) q ⃗.