Авсд а1в1с1д1 кубында бұрыштың косинусы мен авсд жазықтығы арасындағы байланысты табыңыз

Для решения этой задачи нам необходимо вычислить косинус угла, образованного векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), где \(A(а_1, в_1, с_1)\) и \(B(а_1+1, в_1+1, с_1+1)\) — координаты точек на прямой, а \(C(0, 0, 0)\) — начало координат.

Для начала найдем векторные координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), используя формулу разности координат:

\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} а_1+1-а_1 \\ в_1+1-в_1 \\ с_1+1-с_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

\[
\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0-а_1 \\ 0-в_1 \\ 0-с_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -а_1 \\ -в_1 \\ -с_1 \end{pmatrix}
\]

Затем найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), используя формулу:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(-а_1) + (1)(-в_1) + (1)(-с_1) = -а_1 - в_1 - с_1
\]

Теперь найдем длину векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), используя формулу модуля вектора:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{3}
\]

\[
|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-а_1)^2 + (-в_1)^2 + (-с_1)^2} = \sqrt{а_1^2 + в_1^2 + с_1^2}
\]

Наконец, найдем косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) по формуле:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}
\]

Подставим значения и упростим выражение:

\[
\cos(\theta) = \frac{-а_1 - в_1 - с_1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{а_1^2 + в_1^2 + с_1^2}}
\]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления косинуса угла между данными векторами в зависимости от значений переменных \(а_1\), \(в_1\) и \(с_1\).

Примечание: Убедитесь, что переменные \(а_1\), \(в_1\) и \(с_1\) имеют значения в соответствии с условием задачи.