Аня записала все натуральные числа от 1 до 7000 на доску, а затем Боря стёр некоторые из них. Какую максимальную

Чтобы решить эту задачу, давайте представим ситуацию, когда Аня не удалила из доски ни одно число. В таком случае, сумма всех чисел на доске будет равна
\[1 + 2 + 3 + \ldots + 7000\]

Мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения этой суммы:
\[S = \frac{n}{2}(a + b),\]
где \(S\) - сумма элементов прогрессии, \(n\) - количество элементов, \(a\) - первый элемент, \(b\) - последний элемент.

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 7000\), \(n = 7000\).
Теперь мы можем найти сумму всех чисел на доске:
\[S = \frac{7000}{2}(1 + 7000) = 24485000.\]

Получилось, что сумма всех чисел равна 24485000.

Теперь, когда у нас есть сумма всех чисел, мы можем задать следующий вопрос: какой наименьший показатель \(k\) необходим, чтобы число 31 было суммой 30 остальных чисел?

Для этого мы должны найти сумму 30 чисел, отличных от числа 31. Значит, нам нужно вычесть 31 из общей суммы всех чисел на доске:
\[S - 31 = 24485000 - 31 = 24484969.\]

Таким образом, нам нужно найти наименьший показатель \(k\), при котором число 24484969 может быть представлено в виде суммы \(k\) чисел.

Найдем наименьшее натуральное число \(k\), что \(k(k+1) \geq 2 \cdot 24484969\). Выполним вычисления:

\[2 \cdot 24484969 = 48969938.\]

Теперь найдем квадратный корень из этого числа:

\[\sqrt{48969938} \approx 6990.\]

Поскольку мы ищем наименьшее натуральное число \(k\), то за ответ примем: максимальная степень \(k\), которую можно гарантировать, равна 6990.

Благодаря этому решению, можно утверждать, что при удалении \(N\) чисел, где \(N \leq 6990\), на доске всегда найдется сумма 30 чисел, равная 31.