Антон и Боря получили одинаковый набор задач на кружке. Известно, что оба мальчика сдали каждую задачу по 2, 3

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Мы знаем, что и Антон, и Боря сдали каждую задачу по 2, 3 или 5 раз.

Пусть x - это количество задач на кружке.

Теперь у нас есть два уравнения:

2x + 3y + 5z = 98, где x - это количество задач на кружке, которые Антон решил в точности один раз, y - количество задач, которые он решил в точности два раза, и z - количество задач, которые он решил в точности три раза.

2x + 3y + 5z = 43, где x - количество задач на кружке, которые Боря решил в точности один раз, y - количество задач, которые он решил в точности два раза, и z - количество задач, которые он решил в точности три раза.

Чтобы найти количество задач на кружке, мы можем использовать метод подстановки.

Попробуем подставить вариант ответа 20 и посчитаем количество задач, которые Антон и Боря решили в точности раз.

Подставим x = 20 в первое уравнение:

2 * 20 + 3y + 5z = 98
40 + 3y + 5z = 98
3y + 5z = 58
3y = 58 - 5z

Из этого уравнения мы можем сделать несколько наблюдений.

Так как каждая задача сдаётся ровно 2, 3 или 5 раз, то сумма 3y всегда будет делиться на 3, а сумма 58 - 5z всегда будет делиться на 3. Это может быть только в случае, когда само 58 - 5z делится на 3.

У нас осталось проверить все возможные значения z для этого условия. Если найдётся такое z, что 58 - 5z делится на 3, то наш ответ будет правильным, и задач на кружке будет 20 штук.

Если же мы не найдём такое z, то наш ответ будет неверным, и нам нужно будет попробовать другое значение для x.

Однако, если использовать метод подстановки для всех возможных значений z, то мы можем значительно сократить время и перейти к следующему значению x без проверки всех значений z.

Попробуем теперь заменить z на 1, получим 58 - 5 * 1 = 53. Заметим, что 53 не делится на 3. Таким образом, вариант x = 20 нам не подходит.

Давайте теперь рассмотрим вариант x = 22.

Подставим x = 22 в первое уравнение:

2 * 22 + 3y + 5z = 98
44 + 3y + 5z = 98
3y + 5z = 54
3y = 54 - 5z

Таким же образом, заметим, что если мы выберем z = 1, то у нас получится уравнение 54 - 5 * 1 = 49, и оно также не делится на 3.

Рассмотрим следующее доступное значение z - 2.

Имеем уравнение 54 - 5 * 2 = 44. Здесь наше уравнение делится на 3: \(44 \div 3 = 14\frac{2}{3}\). Таким образом, мы нашли значение z, при котором уравнение выполняется.

Подставим z = 2 в первое уравнение:

2 * 22 + 3y + 5 * 2 = 98
44 + 3y + 10 = 98
3y = 98 - 44 - 10
3y = 44 - 10
3y = 34
y = 34 \div 3
y = 11\frac{1}{3}

Так как y - это количество задач, которые Антон решил в точности два раза, мы не можем иметь дробное число задач. Поэтому предыдущий ответ с y = 11\frac{1}{3} нам не подходит.

Таким образом, ответ на задачу - 22. Мы можем сказать, что это возможно.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.