ABC A1B1C1 is a triangular prism. The cutting plane alpha intersects the extensions of the lateral edges B1B and

Итак, у нас есть треугольная призма ABC A1B1C1. Плоскость разреза \(\alpha\) пересекает продолжения боковых ребер B1B и C1C в точках M и N соответственно. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна AA1. Сечение призмы представляет собой треугольник A1EK. Нам нужно доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна \(A1M + A1N + MN\).

Для начала рассмотрим треугольник ABC и его сечение A1EK. Из условия задачи мы знаем, что \(\alpha\) пересекает продолжения ребер B1B и C1C в точках M и N. Поскольку плоскость \(\alpha\) перпендикулярна ребру AA1, то точки M и N являются проекциями точек B и C на плоскость \(\alpha\).

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

1. Сегмент плоскости \(\alpha\) между линиями MN и A1 проходит через треугольник ABC и является его параллельным сечением.

2. Ребра B1M и C1N являются проекциями боковых ребер B1B и C1C на плоскость \(\alpha\).

Теперь обратимся к боковой поверхности призмы. Боковая поверхность представляет собой две равные по площади и равные форме многоугольные фигуры. Одна из фигур заключена между сторонами AB, A1M и BM, а другая заключена между сторонами AC, A1N и CN.

Рассмотрим первую фигуру. Площадь этой фигуры равна площади треугольника ABM. Используя формулу площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\), мы можем записать:

\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM\]

Аналогично, площадь второй фигуры равна площади треугольника ACN:

\[S_{ACN} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CN\]

Так как площади этих двух фигур равны, мы можем записать:

\[S_{ABM} = S_{ACN}\]

Теперь измерим сумму длин отрезков A1M, A1N и MN. Учитывая, что A1M и A1N являются проекциями боковых ребер B1B и C1C на плоскость \(\alpha\), а MN - это длина между ними, мы можем записать:

\[A1M + A1N + MN = BM + CN + MN\]

Заметим, что BM + CN + MN образует периметр сечения призмы A1EK. Поэтому мы можем записать:

\[BM + CN + MN = \text{периметр } A1EK\]

Таким образом, мы доказали, что боковая поверхность призмы (сумма площадей фигур ABM и ACN) равна периметру сечения призмы A1EK.