ABC A1B1C1 is a triangular prism. The cutting plane alpha intersects the extensions of the lateral edges B1B and

Итак, у нас есть треугольная призма ABC A1B1C1. Плоскость разреза $\alpha$ пересекает продолжения боковых ребер B1B и C1C в точках M и N соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна AA1. Сечение призмы представляет собой треугольник A1EK. Нам нужно доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна $A1M+A1N+MN$.

Для начала рассмотрим треугольник ABC и его сечение A1EK. Из условия задачи мы знаем, что $\alpha$ пересекает продолжения ребер B1B и C1C в точках M и N. Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна ребру AA1, то точки M и N являются проекциями точек B и C на плоскость $\alpha$.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

1. Сегмент плоскости $\alpha$ между линиями MN и A1 проходит через треугольник ABC и является его параллельным сечением.

2. Ребра B1M и C1N являются проекциями боковых ребер B1B и C1C на плоскость $\alpha$.

Теперь обратимся к боковой поверхности призмы. Боковая поверхность представляет собой две равные по площади и равные форме многоугольные фигуры. Одна из фигур заключена между сторонами AB, A1M и BM, а другая заключена между сторонами AC, A1N и CN.

Рассмотрим первую фигуру. Площадь этой фигуры равна площади треугольника ABM. Используя формулу площади треугольника $S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$, мы можем записать:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BM$$

Аналогично, площадь второй фигуры равна площади треугольника ACN:

$$S_{ACN}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CN$$

Так как площади этих двух фигур равны, мы можем записать:

$$S_{ABM}=S_{ACN}$$

Теперь измерим сумму длин отрезков A1M, A1N и MN. Учитывая, что A1M и A1N являются проекциями боковых ребер B1B и C1C на плоскость $\alpha$, а MN - это длина между ними, мы можем записать:

$$A1M+A1N+MN=BM+CN+MN$$

Заметим, что BM + CN + MN образует периметр сечения призмы A1EK. Поэтому мы можем записать:

$$BM+CN+MN=\text{периметр }A1EK$$

Таким образом, мы доказали, что боковая поверхность призмы (сумма площадей фигур ABM и ACN) равна периметру сечения призмы A1EK.