A1. Which one of the given functions has a derivative equal to f(x) = 20x^4? 1) F(x) = 4x^5 2) F(x) = 5x^5 3) F(x

A1. Чтобы найти функцию, производная которой равна \(f(x) = 20x^4\), необходимо взять производную от каждой из предложенных функций и проверить, совпадает ли полученный результат с данной функцией.

1) \(F(x) = 4x^5\)
Берем производную: \(F"(x) = 20x^4\) - похоже, данная функция удовлетворяет условию задачи.

2) \(F(x) = 5x^5\)
Берем производную: \(F"(x) = 25x^4\) - это не совпадает с заданной функцией \(f(x)\), поэтому данная функция не является решением.

3) \(F(x) = x^5\)
Берем производную: \(F"(x) = 5x^4\) - это не совпадает с заданной функцией \(f(x)\), поэтому данная функция не является решением.

4) \(F(x) = 80x^3\)
Берем производную: \(F"(x) = 240x^2\) - это не совпадает с заданной функцией \(f(x)\), поэтому данная функция не является решением.

Итак, единственной функцией из предложенных, производная которой равна \(f(x) = 20x^4\), является функция \(F(x) = 4x^5\).

A2. Чтобы найти общий вид первообразной функции \(f(x) = 4x^3 - 6\), мы должны интегрировать данную функцию.

Интегрируя отдельно каждый член, получим:
\[
F(x) = \int (4x^3 - 6) dx = \frac{{x^4}}{4} - 6x + C,
\]
где \(C\) - произвольная константа.

Таким образом, общий вид первообразной функции \(f(x) = 4x^3 - 6\) это \(F(x) = \frac{{x^4}}{4} - 6x + C\).

A3. Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 8x - 3\), проходящую через точку \(M (1; 4)\), мы должны вычислить константу интегрирования.

Интегрируя данную функцию, получим:
\[
F(x) = \int (8x - 3) dx = 4x^2 - 3x + C.
\]

Чтобы удовлетворить условию \(F(1) = 4\), подставим \(x = 1\) и \(F(x) = 4\):
\[
4 = 4(1)^2 - 3(1) + C = 4 - 3 + C = 1 + C.
\]

Отсюда получаем, что \(C = 3\).

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = 8x - 3\), проходящая через точку \(M (1; 4)\), имеет вид: \(F(x) = 4x^2 - 3x + 3\).

A4. Чтобы найти общий вид первообразной функции \(f(x) = \frac{2}{{x^3}}\), мы должны интегрировать данную функцию.

Интегрируя данную функцию, получим:
\[
F(x) = \int \left(\frac{2}{{x^3}}\right) dx = -\frac{1}{{x^2}} + C,
\]
где \(C\) - произвольная константа.

Таким образом, общий вид первообразной функции \(f(x) = \frac{2}{{x^3}}\) это \(F(x) = -\frac{1}{{x^2}} + C\).