A1. Which one of the given functions has a derivative equal to f(x) = 20x^4? 1) F(x) = 4x^5 2) F(x) = 5x^5 3) F(x

A1. Чтобы найти функцию, производная которой равна $f(x)=20x^4$, необходимо взять производную от каждой из предложенных функций и проверить, совпадает ли полученный результат с данной функцией.

1) $F(x)=4x^5$
Берем производную: $F"(x)=20x^4$ - похоже, данная функция удовлетворяет условию задачи.

2) $F(x)=5x^5$
Берем производную: $F"(x)=25x^4$ - это не совпадает с заданной функцией $f(x)$, поэтому данная функция не является решением.

3) $F(x)=x^5$
Берем производную: $F"(x)=5x^4$ - это не совпадает с заданной функцией $f(x)$, поэтому данная функция не является решением.

4) $F(x)=80x^3$
Берем производную: $F"(x)=240x^2$ - это не совпадает с заданной функцией $f(x)$, поэтому данная функция не является решением.

Итак, единственной функцией из предложенных, производная которой равна $f(x)=20x^4$, является функция $F(x)=4x^5$.

A2. Чтобы найти общий вид первообразной функции $f(x)=4x^3-6$, мы должны интегрировать данную функцию.

Интегрируя отдельно каждый член, получим:
$$F(x)=\int (4x^3-6)dx=\frac{x^4}{4}-6x+C,$$
где $C$ - произвольная константа.

Таким образом, общий вид первообразной функции $f(x)=4x^3-6$ это $F(x)=\frac{x^4}{4}-6x+C$.

A3. Чтобы найти первообразную функции $f(x)=8x-3$, проходящую через точку $M(1;4)$, мы должны вычислить константу интегрирования.

Интегрируя данную функцию, получим:
$$F(x)=\int (8x-3)dx=4x^2-3x+C.$$

Чтобы удовлетворить условию $F(1)=4$, подставим $x=1$ и $F(x)=4$:
$$4=4(1{)}^2-3(1)+C=4-3+C=1+C.$$

Отсюда получаем, что $C=3$.

Таким образом, первообразная функции $f(x)=8x-3$, проходящая через точку $M(1;4)$, имеет вид: $F(x)=4x^2-3x+3$.

A4. Чтобы найти общий вид первообразной функции $f(x)=\frac{2}{x^3}$, мы должны интегрировать данную функцию.

Интегрируя данную функцию, получим:
$$F(x)=\int \left(\frac{2}{x^3}\right)dx=-\frac{1}{x^2}+C,$$
где $C$ - произвольная константа.

Таким образом, общий вид первообразной функции $f(x)=\frac{2}{x^3}$ это $F(x)=-\frac{1}{x^2}+C$.