а) Взяв точку f на стороне np параллелограмма mnpk так, что mn=nf, необходимо доказать, что mf является биссектрисой

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

а) Нам дан параллелограмм \(MNPK\) с точкой \(F\), находящейся на стороне \(NP\), так что \(MN = NF\). Нам нужно доказать, что отрезок \(MF\) является биссектрисой угла \(NMK\).

Поскольку \(MNPK\) - параллелограмм, мы знаем, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. То есть, \(MN = KP\) и \(NP = MK\).

Также, по условию задачи, мы знаем, что \(MN = NF\).

На основании этих равенств, мы можем сделать следующие выводы:

1) Из равенства \(MN = NF\) следует, что треугольники \(MNF\) и \(NMK\) равнобедренные, потому что у них две стороны равны (так как \(MN = NF\)).

2) Поскольку у треугольников \(MNF\) и \(NMK\) равны соответствующие углы между равными сторонами, то мы можем сделать вывод, что угол \(NMF\) равен углу \(NMK\).

3) Так как угол \(NMF\) равен углу \(NMK\), то отрезок \(MF\) является биссектрисой угла \(NMK\).

Таким образом, мы доказали, что отрезок \(MF\) является биссектрисой угла \(NMK\).

б) Теперь найдем периметр параллелограмма \(MNPK\), если \(PK = 10\) см и \(PF = 5\) см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон. В нашем случае, параллелограмм \(MNPK\) имеет две пары равных сторон: \(MN = KP\) и \(NP = MK\).

Следовательно, периметр параллелограмма будет равен \(2 \times (MN + NP)\).

У нас есть заданная информация, что \(PK = 10\) см и \(PF = 5\) см. Так как сторона \(PK\) равна стороне \(MN\), то \(MN = PK = 10\) см. Аналогично, сторона \(NP\) равна стороне \(MK\), поэтому \(NP = MK = 10\) см.

Теперь мы можем найти периметр:

Периметр = \(2 \times (MN + NP) = 2 \times (10 + 10) = 2 \times 20 = 40\) см.

Таким образом, периметр параллелограмма \(MNPK\) составляет 40 см.