а) существует точка z, которая принадлежит и х, и у б) для любой точки z, если она принадлежит и х, и у, то существует

Хорошо! Давайте рассмотрим задачу по очереди.

а) В задаче утверждается, что существует точка \(z\), которая принадлежит и \(x\) и \(y\). Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.

Чтобы точка \(z\) принадлежала и \(x\), и \(y\), она должна удовлетворять условиям обоих множеств. Предположим, что множество \(x\) содержит всего одну точку, обозначим ее \(A\) (т.е. \(x = \{A\}\)). Аналогично, пусть множество \(y\) содержит точку \(B\) (т.е. \(y = \{B\}\)).

Теперь обратимся к условию задачи. Утверждается, что существует точка \(z\), которая принадлежит и \(x\), и \(y\). Следовательно, эта точка должна одновременно принадлежать и множеству \(x\), и множеству \(y\).

В нашем примере множество \(x\) состоит только из точки \(A\), а множество \(y\) состоит только из точки \(B\). Поэтому, чтобы точка \(z\) принадлежала и \(x\), и \(y\), она должна быть равна и \(A\), и \(B\). Однако, такого значения точки \(z\) не существует, так как \(A\) и \(B\) разные точки.

На основании этого рассуждения можно сделать вывод, что утверждение, данное в задаче а), является ложным. Следовательно, такой точки \(z\) не существует.

б) Теперь давайте рассмотрим вторую часть задачи. В ней утверждается, что для любой точки \(z\), если она принадлежит и \(x\), и \(y\), то существует прямая \(w\), которая принадлежит и \(x\).

Для доказательства этого утверждения, предположим, что точка \(z\) принадлежит и \(x\), и \(y\). Теперь нам нужно найти прямую \(w\), которая также принадлежит и \(x\).

Для начала, давайте рассмотрим множество \(x\). Допустим, оно состоит из нескольких точек, например, \(x = \{A, B, C\}\). Также, пусть точка \(z\) принадлежит и \(x\), и \(y\).

Так как точка \(z\) принадлежит множеству \(x\), то \(\{z\} \subseteq x\), т.е. точка \(z\) является подмножеством множества \(x\). Также, так как точка \(z\) принадлежит множеству \(y\), то \(\{z\} \subseteq y\).

Теперь мы можем представить множество \(x\) как объединение точек, включая точку \(z\): \(x = \{A, B, C, z\}\).

Давайте рассмотрим такую прямую \(w\), которая проходит через точку \(z\) и другую точку из множества \(x\). Например, пусть \(w = \overline{Az}\). Эта прямая является подмножеством множества \(x\), так как она проходит через точку \(z\) и точку \(A\), которая также принадлежит множеству \(x\).

Таким образом, мы нашли прямую \(w\), которая принадлежит и \(x\), и проходит через точку \(z\), которая также принадлежит \(x\) и \(y\). Поэтому, утверждение, данное в задаче б), является истинным.

Надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять задачу и доказать утверждения. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.