а) Предоставьте пример целого числа n, которое не делится на 7, при котором дробь (n^3+n^2+7n)/(n^2+n-7) может быть

Давайте начнем с первой части задачи. Нам нужно найти такое целое число n, которое не делится на 7, и при котором дробь \(\frac{{n^3+n^2+7n}}{{n^2+n-7}}\) может быть сокращена.

Для начала, давайте разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель:
\(n^3+n^2+7n\)

Знаменатель:
\(n^2+n-7\)

Теперь давайте попробуем сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Если значение НОД больше единицы, то дробь не может быть сокращена.

Найдем НОД для числителя и знаменателя.

НОД числителя:
\(НОД(n^3+n^2+7n)\)

НОД знаменателя:
\(НОД(n^2+n-7)\)

Чтобы дробь могла быть сокращена, НОД числителя и знаменателя должен быть больше единицы. Избегая сложных вычислений, мы заметим, что если \(n=7\), то знаменатель \(n^2+n-7=7^2+7-7=49\). В этом случае, числитель равен \(7^3+7^2+7\times 7=413\).

То есть, при \(n=7\) дробь \(\frac{{n^3+n^2+7n}}{{n^2+n-7}}\) равна \(\frac{{413}}{{49}}\), и эта дробь может быть сокращена.

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно узнать, может ли дробь \(\frac{{n^3+n^2+7n}}{{n^2+n-7}}\) быть сокращена на 2 для какого-либо целого числа n.

Для того чтобы дробь могла быть сокращена на 2, числитель должен быть четным числом, а знаменатель должен быть нечетным числом. Давайте проверим это.

Числитель:
\(n^3+n^2+7n\)

Знаменатель:
\(n^2+n-7\)

Мы замечаем, что ни числитель, ни знаменатель не обладают свойствами, которые позволили бы сократить дробь на 2 для любого целого числа n. Поэтому ответ на вторую часть задачи - нет, дробь \(\frac{{n^3+n^2+7n}}{{n^2+n-7}}\) не может быть сокращена на 2 для любого целого числа n.