А) Предоставьте доказательство того, что переменная хn = 3 + 2n является бесконечно большой, используя определение

а) Чтобы доказать, что переменная \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно большой, мы должны показать, что для любого положительного числа \(M\), можно найти индекс \(N\), начиная с которого все значения \(x_n\) будут больше \(M\).

Давайте предположим, что у нас есть произвольное положительное число \(M\). Мы хотим найти индекс \(N\) такой, что для всех значений \(n \geq N\), \(x_n > M\).

Распишем выражение для \(x_n\):
\[x_n = 3 + 2n\]

Для того чтобы \(x_n\) было больше \(M\), мы можем записать это в виде неравенства:
\[3 + 2n > M\]

Вычтем 3 из обеих частей неравенства:
\[2n > M - 3\]

Теперь разделим обе части неравенства на 2, чтобы найти условие \(n\) для данного \(M\):
\[n > \frac{{M - 3}}{2}\]

Мы видим, что условие \(n\) включает часть \(\frac{{M - 3}}{2}\). Если мы возьмем любое \(M\), то сможем найти \(N\), начиная с которого все значения \(n\) будут больше \(\frac{{M - 3}}{2}\). То есть, мы можем гарантировать, что переменная \(x_n\) будет больше \(M\) для любого положительного числа \(M\).

Таким образом, используя определение бесконечно большой в формулировке "Меньше — Больше", мы показали, что переменная \(x_n = 3 + 2n\) является бесконечно большой.

б) Для того чтобы определить значение предела данной последовательности, мы рассматриваем поведение последовательности \(x_n\) при стремлении \(n\) к бесконечности.

Выражение для \(x_n\) является линейной функцией, где коэффициент при \(n\) равен 2. Из этого следует, что при увеличении \(n\), значение \(x_n\) будет увеличиваться бесконечно.

Мы можем предположить, что предел данной последовательности будет равен бесконечности:
\[\lim_{{n \to \infty}} x_n = \infty\]

Таким образом, значение предела данной последовательности равно бесконечности.