а) Покажите, что графа с 5 вершинами, степени которых равны 4, 1, 3, 2, 4, не существует, и объясните свою точку

Хорошо, давайте рассмотрим задачу по порядку.

а) Для того чтобы показать, что графа с 5 вершинами, степени которых равны 4, 1, 3, 2, 4, не существует, нам нужно взглянуть на требования, которым должен удовлетворять граф.

Количество вершин графа - 5, и каждая из этих вершин должна иметь определенную степень.

Мы видим, что одна из вершин имеет степень 1. Это означает, что из данной вершины существует всего одно ребро.

Однако степень другой вершины равна 4, что означает, что из этой вершины должно выходить 4 ребра.

Аналогично, у нас есть вершина со степенью 2 и вершина со степенью 3.

Из последней вершины должно выходить 4 ребра, так как её степень также равна 4.

В результате, если мы сложим все степени вершин (1 + 4 + 2 + 3 + 4), мы получим сумму степеней всех вершин, которая равна 14.

Однако в любом графе, сумма степеней всех вершин должна быть равна удвоенному количеству рёбер.

Таким образом, теперь мы можем установить равенство 14 = 2 * кол-во рёбер.

Однако, у графа с 5 вершинами может быть максимум 10 рёбер (для полного графа).

Имея это знание, мы можем установить неравенство 14 ≤ 2 * 10, но это не соблюдается.

Так как ни одна пара рёбер не может быть задана более одного раза, мы не сможем создать граф с такими степенями вершин.

b) Чтобы сконструировать граф с 5 вершинами, степени которых равны 4, 1, 3, 2, и 4, мы можем использовать следующую конфигурацию:

4 4
/ \ / \
2 3---0---1
\ /
4

Здесь мы имеем 5 вершин, и степени каждой вершины соответствуют требованиям.

Мы имеем 2 вершины с степенью 4, одну вершину с степенью 1, одну - со степенью 2 и одну - со степенью 3.

Таким образом, этот граф удовлетворяет всем условиям задачи.

Я надеюсь, что эти объяснения были полезными и понятными для вас! Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!