а) Подтвердите равенство угла между плоскостью bkd1 и плоскостью abc, которое выражается через арккосинус функцию

Для начала, рассмотрим задачу (а) и найдем угол между плоскостью bkd1 и плоскостью abc.

Угол между двумя плоскостями можно найти, используя нормали к этим плоскостям. Поэтому нам понадобятся нормали к каждой из плоскостей.

Плоскость bkd1 задана точкой B(1, 2, 3), векторами k(0, 0, 1) и d1(3, -1, 2). Чтобы найти нормаль к плоскости, мы можем взять векторное произведение векторов kB и kD1, где kB - вектор, соединяющий точки B и K, а kD1 - вектор, соединяющий точки K и D1. Затем найдем модуль этого вектора и нормализуем его.

\[
\vec{KB} = (x_B - x_K, y_B - y_K, z_B - z_K) = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3)
\]

\[
\vec{KD1} = (x_{D1} - x_K, y_{D1} - y_K, z_{D1} - z_K) = (3 - 0, -1 - 0, 2 - 0) = (3, -1, 2)
\]

Теперь найдем векторное произведение векторов kB и kD1:

\[
\vec{n_1} = \vec{KB} \times \vec{KD1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 2) = \vec{i}(4 - 1) - \vec{j}(2 + 3) + \vec{k}(-1 - 6) = \vec{i} \cdot 3 - \vec{j} \cdot 5 + \vec{k} \cdot (-7)
\]

Теперь найдем модуль этого вектора:

\[
|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 25 + 49} = \sqrt{83}
\]

Для нормализации вектора n1, мы делим все его компоненты на модуль вектора:

\[
\vec{n_1"} = \left(\frac{3}{\sqrt{83}}, \frac{-5}{\sqrt{83}}, \frac{-7}{\sqrt{83}}\right)
\]

Аналогично, найдем нормаль плоскости abc. Плоскость abc задана точкой A(5, 4, 3), векторами b(2, 5, 4) и c(7, 6, 2). Найдем векторное произведение векторов ab и ac, и затем нормализуем полученный вектор.