а. Пересекающиеся прямые mk, me и mf не расположены в одной плоскости. Они пересекают плоскость α в точках a, b и

Чтобы решить задачу, нам понадобится использовать некоторые свойства пересекающихся прямых и параллельных плоскостей.

1. Докажем, что стороны треугольников \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) параллельны.

Из условия задачи известно, что прямые \(mk\), \(me\) и \(mf\) не лежат в одной плоскости. Также известно, что они пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(a\), \(b\) и \(c\), а плоскость \(\beta\) (параллельную \(\alpha\)) в точках \(a_1\), \(b_1\) и \(c_1\).

Возьмем, например, отрезок \(ab\), который лежит на плоскости \(\alpha\). Поскольку и \(a\), и \(b\) лежат на прямой \(mk\), но \(mk\) и \(me\) не лежат в одной плоскости, то эта прямая пересекает \(\beta\) в точках, скажем, \(a_2\) и \(b_2\). Таким образом, мы получили параллельные стороны \(ab\) и \(a_2b_2\). Аналогичные рассуждения можно провести для сторон \(bc\) и \(c_2b_2\), а также для сторон \(ca\) и \(c_2a_2\). То есть, каждая сторона треугольника \(abc\) параллельна соответствующей стороне треугольника \(a_1b_1c_1\).

2. Докажем, что углы треугольников \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) равны.

Из предыдущего пункта следует, что стороны треугольников параллельны. Также мы знаем, что \(ma:aa_1 = 2:1\). Поскольку \(\triangle maa_1\) и \(\triangle mbb_2\) являются подобными треугольниками (по определению подобия), то диагонали \(aa_1\) и \(bb_2\) делят углы \(amc\) и \(bmc\) таким же образом, то есть в одном и том же отношении. Аналогично, углы \(amb\) и \(cmc\) делятся диагоналями \(bb_2\) и \(cc_2\) в одном и том же отношении.

Таким образом, углы треугольников \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) равны.

3. Докажем, что треугольники \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) подобны.

Для доказательства подобия треугольников нам достаточно показать, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны параллельны. Это было доказано в предыдущих пунктах, поэтому мы можем сделать вывод, что треугольники \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) подобны.

4. Найдем площадь треугольника \(a_1b_1c_1\), если площадь треугольника \(abc\) равна \(S\).

Поскольку треугольники \(abc\) и \(a_1b_1c_1\) подобны, то их площади будут соотноситься как квадраты соответствующих сторон. Пусть \(k\) - коэффициент подобия между этими треугольниками, то есть \(k = \frac{{a_1b_1}}{{ab}} = \frac{{b_1c_1}}{{bc}} = \frac{{c_1a_1}}{{ca}}\).

Так как отношение между диагоналями \(ma\) и \(aa_1\) равно \(2:1\), площадь треугольника \(abc\) будет в девять раз больше площади \(\triangle maa_1\). Поэтому, если площадь треугольника \(abc\) равна \(S\), то площадь треугольника \(aa_1b_1\) равна \(\frac{S}{9}\).

Так как по условию \(k = \frac{{a_1b_1}}{{ab}} = \frac{{b_1c_1}}{{bc}} = \frac{{c_1a_1}}{{ca}}\), то \(k^2 = \frac{{a_1b_1}}{{ab}} \cdot \frac{{b_1c_1}}{{bc}} \cdot \frac{{c_1a_1}}{{ca}} = \frac{{a_1b_1c_1}}{{abc}}\). Поэтому площадь треугольника \(a_1b_1c_1\) будет равна \(k^2\) умножить на площадь треугольника \(aa_1b_1\).

Итак, площадь треугольника \(a_1b_1c_1\) равна \(k^2 \cdot \frac{S}{9}\).