а) Определите все значения переменной, при которых квадратный трехчлен 2x^2-7x+6 является положительным. б) Определите

a) Для определения значений переменной, при которых квадратный трехчлен \(2x^2-7x+6\) является положительным, мы должны найти все значения \(x\), для которых \(2x^2-7x+6 > 0\).

Для этого мы можем воспользоваться методом разложения на множители или построением графика функции.

Метод разложения на множители:
Мы знаем, что квадратный трехчлен \(2x^2-7x+6\) может быть записан в виде произведения двух линейных множителей вида \((ax+b)(cx+d)\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - коэффициенты. Раскрыв скобки и сравнивая коэффициенты при каждом члене, мы можем записать:

\(2x^2-7x+6 = (2x+1)(x-6)\)

Теперь, чтобы найти значения переменной \(x\), при которых \(2x^2-7x+6 > 0\), мы должны учесть знаки множителей \((2x+1)\) и \((x-6)\). Здесь есть два случая:

1. Когда оба множителя положительны:
\((2x+1) > 0\) и \((x-6) > 0\)

Из первого неравенства получаем \(x > -\frac{1}{2}\), а из второго неравенства получаем \(x > 6\).

Но мы должны учесть, что для выполнения обоих неравенств одновременно, значение \(x\) должно быть больше 6.

Итак, для этого случая, все значения переменной \(x\), при которых квадратный трехчлен \(2x^2-7x+6\) является положительным, это \(x > 6\).

2. Когда оба множителя отрицательны:
\((2x+1) < 0\) и \((x-6) < 0\)

Из первого неравенства получаем \(x < -\frac{1}{2}\), а из второго неравенства получаем \(x < 6\).

Но мы должны учесть, что для выполнения обоих неравенств одновременно, значение \(x\) должно быть меньше -1/2.

Итак, для этого случая, все значения переменной \(x\), при которых квадратный трехчлен \(2x^2-7x+6\) является положительным, это \(x < -\frac{1}{2}\).

б) Для определения значений переменной, при которых квадратный трехчлен \(-3x^2-x-12\) принимает отрицательные значения, мы должны найти все значения \(x\), для которых \(-3x^2-x-12 < 0\).

Мы также можем воспользоваться методом разложения на множители или построением графика функции.

Метод разложения на множители:
Разложим квадратный трехчлен \(-3x^2-x-12\) на множители. Можно заметить, что он не может быть разложен на множители с целыми коэффициентами. Поэтому в данном случае проще воспользоваться графиком функции.

Построим график функции \(y = -3x^2-x-12\):

\[
\begin{align*}
y &= -3x^2-x-12 \\
&= -3(x^2 + \frac{1}{3}x + 4) \\
&= -3(x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + 4) \\
&= -3\left(x + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{13}{3}
\end{align*}
\]

Теперь мы видим, что график функции представляет собой параболу, смещенную вниз относительно оси \(y\) и направленную вниз, так как коэффициент \(a\) перед \(x^2\) отрицательный.

Записывая результаты графика в виде таблицы, мы можем видеть, какие значения \(x\) приводят к отрицательным значениям:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-3 & -\frac{28}{3} \\
-2 & -\frac{19}{3} \\
-1 & -\frac{10}{3} \\
0 & -\frac{13}{3} \\
1 & -\frac{20}{3} \\
2 & -\frac{29}{3} \\
3 & -\frac{40}{3} \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что при \(x\) от -1 до 1 функция принимает отрицательные значения. Таким образом, все значения переменной \(x\), при которых квадратный трехчлен \(-3x^2-x-12\) принимает отрицательные значения, это \(-1 \leq x \leq 1\).