а) Определите производную функции в точке х0: а)у=1-6^3√х, х0=8.
б) Напишите уравнение касательной к кривой функции f(x)=4x-cosx+1 в точке х0=0.
в) Найдите значения х, при которых производная функции f(x)=1-x/x^2+8 отрицательна.
г) Найдите точки на графике функции f(x)=x^3-3x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс.
б) Напишите уравнение касательной к кривой функции f(x)=4x-cosx+1 в точке х0=0.
в) Найдите значения х, при которых производная функции f(x)=1-x/x^2+8 отрицательна.
г) Найдите точки на графике функции f(x)=x^3-3x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс.

Цветочек
a) Чтобы найти производную функции в точке , мы должны вычислить предел функции при приближении к . В данном случае, у нас есть функция и . Подставим эти значения в функцию:
Теперь вычислим производную. Применим правило дифференцирования сложной функции, которое обозначается как цепное правило:
где .
Найдем :
Теперь найдем :
Теперь подставим найденные значения в цепное правило:
Теперь подставим и вычислим:
После вычислений, получаем значение производной функции в точке .
б) Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции в точке , мы должны найти производную функции в этой точке и использовать ее для построения уравнения прямой. Производная функции равна:
Подставим в производную функции, чтобы найти значение производной в этой точке:
Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной будет равен значению производной функции:
Также нам нужно знать точку, через которую проходит касательная. Это и . Подставим в исходную функцию:
Теперь у нас есть точка и угловой коэффициент , поэтому мы можем записать уравнение касательной в форме .
в) Чтобы найти значения , при которых производная функции отрицательна, мы должны найти интервалы, на которых производная меньше нуля.
Сначала найдем производную функции :
Для удобства производных вычислений, мы можем представить функцию в виде суммы двух функций:
Теперь найдем производную первой части функции:
А теперь найдем производную второй части функции:
Теперь мы можем задать в виде:
Чтобы найти значения , при которых производная отрицательна, мы должны решить неравенство:
г) Чтобы найти точки на графике функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти значения , при которых производная функции равна нулю.
Сначала найдем производную функции :
Найдем производную:
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
Отсюда мы получаем два решения: и .
Теперь мы знаем, что касательная будет параллельна оси абсцисс в точках, где производная равна нулю, то есть в точках и .
Теперь вычислим производную. Применим правило дифференцирования сложной функции, которое обозначается как цепное правило:
где
Найдем
Теперь найдем
Теперь подставим найденные значения в цепное правило:
Теперь подставим
После вычислений, получаем значение производной функции в точке
б) Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции
Подставим
Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной будет равен значению производной функции:
Также нам нужно знать точку, через которую проходит касательная. Это
Теперь у нас есть точка
в) Чтобы найти значения
Сначала найдем производную функции
Для удобства производных вычислений, мы можем представить функцию в виде суммы двух функций:
Теперь найдем производную первой части функции:
А теперь найдем производную второй части функции:
Теперь мы можем задать
Чтобы найти значения
г) Чтобы найти точки на графике функции
Сначала найдем производную функции
Найдем производную:
Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
Отсюда мы получаем два решения:
Теперь мы знаем, что касательная будет параллельна оси абсцисс в точках, где производная равна нулю, то есть в точках
Знаешь ответ?