а) Определите производную функции в точке х0: а)у=1-6^3√х, х0=8. б) Напишите уравнение касательной к кривой функции

a) Чтобы найти производную функции в точке \(x_0\), мы должны вычислить предел функции при приближении \(x\) к \(x_0\). В данном случае, у нас есть функция \(y = 1 - 6^\frac{3}{\sqrt{x}}\) и \(x_0 = 8\). Подставим эти значения в функцию:

\[y = 1 - 6^\frac{3}{\sqrt{8}}\]

Теперь вычислим производную. Применим правило дифференцирования сложной функции, которое обозначается как цепное правило:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

где \(u = 6^\frac{3}{\sqrt{x}}\).

Найдем \(\frac{dy}{du}\):

\[\frac{dy}{du} = 0 - 6^\frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{2} \cdot u^\frac{1}{2}\]

Теперь найдем \(\frac{du}{dx}\):

\[\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (6^\frac{3}{\sqrt{x}}) = 6^\frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{\sqrt{x^3}}\]

Теперь подставим найденные значения в цепное правило:

\[\frac{dy}{dx} = \left(0 - 6^\frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{2} \cdot u^\frac{1}{2}\right) \cdot \left(6^\frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{\sqrt{x^3}}\right)\]

Теперь подставим \(x = 8\) и вычислим:

\[\frac{dy}{dx} \rvert_{x=8} = \left(0 - 6^\frac{3}{\sqrt{8}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{2} \cdot (6^\frac{3}{\sqrt{8}})^\frac{1}{2}\right) \cdot \left(6^\frac{3}{\sqrt{8}} \cdot \ln(6) \cdot \frac{3}{\sqrt{8^3}}\right)\]

После вычислений, получаем значение производной функции в точке \(x_0 = 8\).

б) Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции \(f(x) = 4x-\cos(x)+1\) в точке \(x_0 = 0\), мы должны найти производную функции в этой точке и использовать ее для построения уравнения прямой. Производная функции \(f(x)\) равна:

\[f"(x) = 4 + \sin(x)\]

Подставим \(x = x_0 = 0\) в производную функции, чтобы найти значение производной в этой точке:

\[f"(0) = 4 + \sin(0)\]

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной будет равен значению производной функции:

\[k = f"(0) = 4 + \sin(0)\]

Также нам нужно знать точку, через которую проходит касательная. Это \(x_0 = 0\) и \(y_0 = f(x_0) = f(0)\). Подставим \(x = x_0 = 0\) в исходную функцию:

\[y_0 = f(0) = 4 \cdot 0 - \cos(0) + 1\]

Теперь у нас есть точка \((x_0, y_0)\) и угловой коэффициент \(k\), поэтому мы можем записать уравнение касательной в форме \(y = k(x - x_0) + y_0\).

в) Чтобы найти значения \(x\), при которых производная функции \(f(x) = \frac{1-x}{x^2+8}\) отрицательна, мы должны найти интервалы, на которых производная меньше нуля.

Сначала найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1-x}{x^2+8}\right)\]

Для удобства производных вычислений, мы можем представить функцию в виде суммы двух функций:

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2+8}\right) - \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x^2+8}\right)\]

Теперь найдем производную первой части функции:

\[\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2+8}\right) = -\frac{2x}{(x^2+8)^2}\]

А теперь найдем производную второй части функции:

\[\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{x^2+8}\right) = \frac{(x^2+8) - x(2x)}{(x^2+8)^2} = \frac{8-x^2}{(x^2+8)^2}\]

Теперь мы можем задать \(f"(x)\) в виде:

\[f"(x) = -\frac{2x}{(x^2+8)^2} - \frac{8-x^2}{(x^2+8)^2}\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых производная отрицательна, мы должны решить неравенство:

\[f"(x) < 0\]

г) Чтобы найти точки на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\), в которых касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2)\]

Найдем производную:

\[f"(x) = 3x^2 - 6x\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[3x^2 - 6x = 0\]

\[x(3x - 6) = 0\]

Отсюда мы получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Теперь мы знаем, что касательная будет параллельна оси абсцисс в точках, где производная равна нулю, то есть в точках \(x = 0\) и \(x = 2\).