а) Определите производную функции в точке х0: а)у=1-6^3√х, х0=8. б) Напишите уравнение касательной к кривой функции

a) Чтобы найти производную функции в точке $x_0$, мы должны вычислить предел функции при приближении $x$ к $x_0$. В данном случае, у нас есть функция $y=1-6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}$ и $x_0=8$. Подставим эти значения в функцию:

$$y=1-6^{\frac{3}{\sqrt{8}}}$$

Теперь вычислим производную. Применим правило дифференцирования сложной функции, которое обозначается как цепное правило:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

где $u=6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}$.

Найдем $\frac{dy}{du}$:

$$\frac{dy}{du}=0-6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}}$$

Теперь найдем $\frac{du}{dx}$:

$$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(6^{\frac{3}{\sqrt{x}}})=6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{\sqrt{x^3}}$$

Теперь подставим найденные значения в цепное правило:

$$\frac{dy}{dx}=(0-6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}})\cdot (6^{\frac{3}{\sqrt{x}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{\sqrt{x^3}})$$

Теперь подставим $x=8$ и вычислим:

$$\frac{dy}{dx}{|}_{x=8}=(0-6^{\frac{3}{\sqrt{8}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{2}\cdot (6^{\frac{3}{\sqrt{8}}}{)}^{\frac{1}{2}})\cdot (6^{\frac{3}{\sqrt{8}}}\cdot \ln (6)\cdot \frac{3}{\sqrt{8^3}})$$

После вычислений, получаем значение производной функции в точке $x_0=8$.

б) Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции $f(x)=4x-\cos (x)+1$ в точке $x_0=0$, мы должны найти производную функции в этой точке и использовать ее для построения уравнения прямой. Производная функции $f(x)$ равна:

$$f"(x)=4+\sin (x)$$

Подставим $x=x_0=0$ в производную функции, чтобы найти значение производной в этой точке:

$$f"(0)=4+\sin (0)$$

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной будет равен значению производной функции:

$$k=f"(0)=4+\sin (0)$$

Также нам нужно знать точку, через которую проходит касательная. Это $x_0=0$ и $y_0=f(x_0)=f(0)$. Подставим $x=x_0=0$ в исходную функцию:

$$y_0=f(0)=4\cdot 0-\cos (0)+1$$

Теперь у нас есть точка $(x_0,y_0)$ и угловой коэффициент $k$, поэтому мы можем записать уравнение касательной в форме $y=k(x-x_0)+y_0$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f(x)=\frac{1-x}{x^2+8}$ отрицательна, мы должны найти интервалы, на которых производная меньше нуля.

Сначала найдем производную функции $f"(x)$:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{x^2+8}\right)$$

Для удобства производных вычислений, мы можем представить функцию в виде суммы двух функций:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2+8}\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^2+8}\right)$$

Теперь найдем производную первой части функции:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2+8}\right)=-\frac{2x}{(x^2+8{)}^2}$$

А теперь найдем производную второй части функции:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^2+8}\right)=\frac{(x^2+8)-x(2x)}{(x^2+8{)}^2}=\frac{8-x^2}{(x^2+8{)}^2}$$

Теперь мы можем задать $f"(x)$ в виде:

$$f"(x)=-\frac{2x}{(x^2+8{)}^2}-\frac{8-x^2}{(x^2+8{)}^2}$$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная отрицательна, мы должны решить неравенство:

$$f"(x)<0$$

г) Чтобы найти точки на графике функции $f(x)=x^3-3x^2$, в которых касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции $f"(x)$:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2)$$

Найдем производную:

$$f"(x)=3x^2-6x$$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$$3x^2-6x=0$$

$$x(3x-6)=0$$

Отсюда мы получаем два решения: $x=0$ и $x=2$.

Теперь мы знаем, что касательная будет параллельна оси абсцисс в точках, где производная равна нулю, то есть в точках $x=0$ и $x=2$.