а) Определите производную функции в точке х0: а)у=1-6^3√х, х0=8. б) Напишите уравнение касательной к кривой функции

а) Определите производную функции в точке х0: а)у=1-6^3√х, х0=8.
б) Напишите уравнение касательной к кривой функции f(x)=4x-cosx+1 в точке х0=0.
в) Найдите значения х, при которых производная функции f(x)=1-x/x^2+8 отрицательна.
г) Найдите точки на графике функции f(x)=x^3-3x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс.
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Цветочек

Цветочек

a) Чтобы найти производную функции в точке x0, мы должны вычислить предел функции при приближении x к x0. В данном случае, у нас есть функция y=163x и x0=8. Подставим эти значения в функцию:

y=1638

Теперь вычислим производную. Применим правило дифференцирования сложной функции, которое обозначается как цепное правило:

dydx=dydududx

где u=63x.

Найдем dydu:

dydu=063xln(6)32u12

Теперь найдем dudx:

dudx=ddx(63x)=63xln(6)3x3

Теперь подставим найденные значения в цепное правило:

dydx=(063xln(6)32u12)(63xln(6)3x3)

Теперь подставим x=8 и вычислим:

dydx|x=8=(0638ln(6)32(638)12)(638ln(6)383)

После вычислений, получаем значение производной функции в точке x0=8.

б) Чтобы найти уравнение касательной к кривой функции f(x)=4xcos(x)+1 в точке x0=0, мы должны найти производную функции в этой точке и использовать ее для построения уравнения прямой. Производная функции f(x) равна:

f"(x)=4+sin(x)

Подставим x=x0=0 в производную функции, чтобы найти значение производной в этой точке:

f"(0)=4+sin(0)

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной будет равен значению производной функции:

k=f"(0)=4+sin(0)

Также нам нужно знать точку, через которую проходит касательная. Это x0=0 и y0=f(x0)=f(0). Подставим x=x0=0 в исходную функцию:

y0=f(0)=40cos(0)+1

Теперь у нас есть точка (x0,y0) и угловой коэффициент k, поэтому мы можем записать уравнение касательной в форме y=k(xx0)+y0.

в) Чтобы найти значения x, при которых производная функции f(x)=1xx2+8 отрицательна, мы должны найти интервалы, на которых производная меньше нуля.

Сначала найдем производную функции f"(x):

f"(x)=ddx(1xx2+8)

Для удобства производных вычислений, мы можем представить функцию в виде суммы двух функций:

f"(x)=ddx(1x2+8)ddx(xx2+8)

Теперь найдем производную первой части функции:

ddx(1x2+8)=2x(x2+8)2

А теперь найдем производную второй части функции:

ddx(xx2+8)=(x2+8)x(2x)(x2+8)2=8x2(x2+8)2

Теперь мы можем задать f"(x) в виде:

f"(x)=2x(x2+8)28x2(x2+8)2

Чтобы найти значения x, при которых производная отрицательна, мы должны решить неравенство:

f"(x)<0

г) Чтобы найти точки на графике функции f(x)=x33x2, в которых касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции f"(x):

f"(x)=ddx(x33x2)

Найдем производную:

f"(x)=3x26x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x26x=0

x(3x6)=0

Отсюда мы получаем два решения: x=0 и x=2.

Теперь мы знаем, что касательная будет параллельна оси абсцисс в точках, где производная равна нулю, то есть в точках x=0 и x=2.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello