А) Не можем ли мы указать доказательства того, что сумма углов всех угловых диагональных четырехугольников равна 360°?

углов этого многоугольника равна 1080°?

А) Четырехугольниками называются фигуры, у которых четыре угла. Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться тем, что сумма углов в четырехугольнике всегда равна 360°. Обратимся к рисунку ниже.

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& / & | & \textbackslash \\
B & - & - & C \\
& \textbackslash & | & / \\
& & D & \\
\end{array}
\]

В четырехугольнике ABCD у нас есть две диагонали: AC и BD. Давайте посмотрим на сумму углов, образованных этими диагоналями. Угол ADC и угол BAC образованы диагональю AC, а угол BDC и угол ADB образованы диагональю BD.

Теперь давайте посчитаем сумму всех углов этих четырехугольников:

Угол ADC + угол BAC + угол BDC + угол ADB

Так как мы знаем, что сумма углов в четырехугольнике всегда равна 360°, то:

Угол ADC + угол BAC + угол BDC + угол ADB = 360°

Значит, доказательство того, что сумма углов всех угловых диагональных четырехугольников равна 360°, объясняется тем фактом, что сумма углов в четырехугольнике всегда равна 360°.

Б) Правильными называются те четырехугольники, у которых все углы равны. Возьмем, например, квадрат ABCD.

\[
\begin{array}{cccc}
& & A & \\
& / & | & \textbackslash \\
B & - & - & C \\
& \textbackslash & | & / \\
& & D & \\
\end{array}
\]

Угол BAD = угол BCD = угол CDA = угол ABC = 90°. В данном случае все углы четырехугольника являются правильными углами. Таким образом, ответ на вопрос - да, все углы четырехугольника могут быть правильными.

В) 1) Сумма углов диагонального пятиугольника не зависит от числа его диагоналей. Это утверждение неверно. Сумма углов в диагональном пятиугольнике зависит от числа его диагоналей.

2) Сумма углов диагонального пятиугольника равна 720°. Это утверждение неверно. В диагональном пятиугольнике сумма углов равна 540°.

Г) 1) Если количество диагоналей в правильном многоугольнике увеличить на 3, то сумма его углов увеличится на 180°.

2) Если количество диагоналей в правильном многоугольнике увеличить на 8, то сумма его углов увеличится на 360°.

Д) Чтобы узнать, сколько диагоналей есть в правильном многоугольнике, если сумма его углов равна 1080°, мы можем использовать формулу для расчета количества диагоналей:

Количество диагоналей = \(\frac{{n \cdot (n-3)}}{2}\)

Где n - количество сторон многоугольника.

Для нашего случая сумма углов равна 1080°. Найдем n:

\(1080 = (n-2) \cdot 180\)

\(n-2 = \frac{1080}{180} = 6\)

\(n = 6+2 = 8\)

Таким образом, в правильном многоугольнике с суммой углов равной 1080° есть 8 диагоналей.