А) Найдите значения x, удовлетворяющие уравнению: (4sin²x-1)√x²-64π²=0 б) Определите все корни этого уравнения, которые

a) Для начала, давайте разложим уравнение на более простые составляющие и решим его пошагово.

У нас есть уравнение: \((4\sin^2x-1)\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\)

Чтобы найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению, мы должны решить его две части: \(4\sin^2x-1=0\) и \(\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\).

1. Решение уравнения \(4\sin^2x-1=0\):

Добавим 1 к обоим сторонам:
\(4\sin^2x=1\)

Разделим обе стороны на 4:
\(\sin^2x=\frac{1}{4}\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\(\sin{x}=\pm\frac{1}{2}\)

Учитывая, что синус равен половине отношения противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, мы видим, что эти значения соответствуют углам 30 градусов и 150 градусов.

Таким образом, значения x, удовлетворяющие уравнению \(4\sin^2x-1=0\), равны 30 градусам и 150 градусам, или \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{5\pi}{6}\) в радианах.

2. Решение уравнения \(\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\):

Возведем в квадрат обе стороны уравнения:
\(x^2-64\pi^2=0\)

Добавим \(64\pi^2\) к обеим сторонам:
\(x^2=64\pi^2\)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\(x=\pm8\pi\)

Таким образом, значения x, удовлетворяющие уравнению \(\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\), равны 8π и -8π.

b) Чтобы найти все корни уравнения, которые принадлежат интервалу [25, 50], мы должны проверить, лежит ли каждое значение x в этом диапазоне.

Из раздела (a) мы знаем, что значением x равно 8π не удовлетворяет условию, так как это число больше 50. Однако, значение x равное -8π может быть в диапазоне.

Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие интервалу [25, 50], это -8π.

Для наглядности, вот окончательный ответ:

а) Значения x, удовлетворяющие уравнению \((4\sin^2x-1)\sqrt{x^2-64\pi^2}=0\), равны \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\) и -8π.

b) Все корни этого уравнения, которые принадлежат интервалу [25, 50], равны -8π.