а) Найдите решения уравнения (sin2x-sinx)(√2 - √-2ctgx) = 0. б) Определите корни этого уравнения, которые принадлежат

Хорошо, давайте решим данное уравнение по шагам.

а) Уравнение, которое нужно решить, имеет вид (sin2x-sinx)(√2 - √-2ctgx) = 0.

Чтобы понять, при каких значениях $x$ уравнение будет иметь решения, необходимо разложить его на два отдельных уравнения, уравнение (sin2x-sinx) = 0 и уравнение (√2 - √-2ctgx) = 0.

Первое уравнение (sin2x-sinx) = 0:

Чтобы решить это уравнение, нужно найти значения $x$, при которых sin2x равен sinx.

Мы знаем, что $sin2x=2sinxcosx$ и $sinx=sinx$.

Подставим эти значения в уравнение и получим:

2sinxcosx - sinx = 0.

Затем, вынесем sinx как общий множитель:

sinx(2cosx - 1) = 0.

Данное уравнение будет иметь два решения:

1) sinx = 0. Это означает, что $x$ равно либо 0, либо $\pi$, или любое значение, которое отличается от них на целое кратное $\pi$: $x=0+\pi n$, где $n$ - целое число.

2) 2cosx - 1 = 0. Для решения данного уравнения нужно найти значения $x$, при которых $cosx=\frac{1}{2}$.

Мы знаем, что $cosx=\frac{1}{2}$ при $x=\frac{\pi }{3}$ и $x=\frac{5\pi }{3}$. Также, $cosx=\frac{1}{2}$ отличается на целое кратное $\pi$, поэтому мы можем записать общее решение в виде: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

Поэтому первое уравнение имеет следующие решения:

$x=0+\pi n$, $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь рассмотрим второе уравнение (√2 - √-2ctgx) = 0:

Для начала, заметим, что $\sqrt{-2}$ - мнимое число, так как нет отрицательного числа, корень из которого будет вещественным.

Таким образом, уравнение не будет иметь решений, так как нельзя подставить значения для $x$, при которых оно выполняется.

б) Мы нашли решения первого уравнения (sin2x-sinx) = 0:
$x=0+\pi n$, $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi }{3}+2\pi n$, где $n$ - целое число.

В данном пункте нам нужно найти корни уравнения (sin2x-sinx)(√2 - √-2ctgx) = 0, которые принадлежат интервалу $[\frac{\pi }{2},2\pi ]$.

Для этого проверим каждое найденное решение на принадлежность интервалу.

Подставим $x=\frac{\pi }{2}$ в первое уравнение (sin2x-sinx) = 0:
$sin(\pi )-sin\left(\frac{\pi }{2}\right)=0-1=-1\ne 0$.
Значит, данное решение не принадлежит интервалу $[\frac{\pi }{2},2\pi ]$.

Подставим $x=2\pi$ в первое уравнение (sin2x-sinx) = 0:
$sin(4\pi )-sin(2\pi )=0-0=0$.
Значит, данное решение принадлежит интервалу $[\frac{\pi }{2},2\pi ]$.

В итоге, мы нашли одно решение, которое принадлежит интервалу: $x=2\pi$.

В итоге, решения уравнения (sin2x-sinx)(√2 - √-2ctgx) = 0, принадлежащие интервалу $[\frac{\pi }{2},2\pi ]$, равны $x=2\pi$.